Previous Page  11 / 22 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 11 / 22 Next Page
Page Background

ˆ

G

IJi

=

κ

2

< ξG

IJi

>

=

κ

2

< C

IJk

3

C

1

k

3

i

3

ξ

ξ

Z

0

,

5

(

< ρ >

ρ

)

dξ >

;

ˉ

G

=

κ <

ξ

Z

0

,

5

(

< ρ >

ρ

)

dξ >

— тензоры осредненных упругих констант пластины.

В частном случае, когда выполняются следующие условия: 1) слои

пластины расположены симметрично относительно плоскости

ξ

= 0

;

2) толщины всех слоев одинаковы, функции вида

< C

(0)

PMKL

>

C

(0)

PMKL

будут симметричными относительно плоскости, а функции

ξ

Z

0

,

5

(

< C

(0)

PMKL

>

C

(0)

PMKL

)

— антисимметричными, поэтому при-

веденные ниже функции являются нулевыми:

B

IJKL

= 0

, K

IJKLM

= 0

, K

IJKL

= 0 ˉ

G

IJi

= 0

,

(45)

а определяющие соотношения (41)–(43) принимают более простой вид

T

IJ

= ˉ

C

IJKL

ε

(0)

KL

, M

IJ

=

D

IJKL

η

KL

+ ˉ

K

IJKLM

ε

(0)

KL,M

+

ω

2

ˆ

G

IJi

u

(0)

i

,

(46)

который для моментов имеет вид, отличный от вида уравнений клас-

сической теории пластин Кирхгофа – Лява и Тимошенко [20] ввиду

наличия второго и третьего слагаемых.

Осредненные кинематические соотношения теории пластин.

В систему осредненных определяющих соотношений (41)–(43) входят

деформации срединной поверхности

ε

(0)

KL

, кривизны

η

KL

и градиенты

деформаций

ε

(0)

KL,N

, которые зависят от трех функций

u

(0)

I

,

u

(0)

3

глобаль-

ных переменных

x

I

:

ε

(0)

IJ

=

1

2

(

u

(0)

I,J

+

u

(0)

J,I

)

, η

KL

=

u

(0)

3

,KL

.

(47)

Осредненная система уравнений для установившихся колеба-

ний многослойных пластин.

Подставляя далее выражения (41)–(43)

и (47) в систему (40), получаем систему относительно трех неизвест-

ных функций

u

(0)

I

,

u

(0)

3

:

ˉ

C

IJKL

u

(0)

K,LJ

B

IJKL

u

(0)

3

,KLJ

+

K

IJKLM

u

(0)

K,LMJ

+

+

ω

2

( ˉ

G

IJi

+

< ρ > δ

i

3

)

u

(0)

i,J

= 0;

B

IJKL

u

(0)

K,LJI

D

IJKL

u

(0)

3

,KLJI

+ ˉ

K

IJKLM

u

(0)

K,LMJI

+

ω

2

ˆ

G

IJi

u

(0)

i,IJ

ω

2

(

Ru

(0)

3

,II

u

(0)

K,LI

R

IKL

+ ˉ

ρu

(0)

3

) = Δˉ

p.

(48)

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6

109