14 / 22
Для случая
Δˉ
p
= 0
решение задачи (54), (56) представляет собой
собственные колебания пластины
u
(0)
3
=
W
n
sin(
πnx
)
, где
u
(0)
3
=
=
W
n
sin(
πnx
)
— амплитуда,
n
= 1
,
2
,
3
. . .
В таком случае частота
ω
является собственной частой
ω
n
колебаний пластины и вычисляется
по формуле
ω
2
n
=
(
πn
)
4
D
1111
ˉ
ρ
+
π
2
n
2
(
R
−
ˆ
G
113
)
.
(57)
Напряжения
σ
(0)
IJ
,
σ
(0)
k
3
нулевого приближения согласно (15) и (51) явля-
ются нулевыми, а напряжения первого и второго приближений соглас-
но (36), (30) и (29) в рассматриваемой задаче имеют следующий вид:
σ
(1)
IJ
=
−
ξC
(0)
IJ
11
u
(0)
3
,
11
+
ω
2
G
IJ
3
u
(0)
3
;
σ
(1)
I
3
= 0;
σ
(1)
33
=
u
(0)
3
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρ >
−
ρ
)
ω
2
dξ
;
(58)
σ
(2)
I
3
=
−
u
(0)
3
,
111
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ξC
(0)
I
111
>
−
ξC
(0)
I
111
)
dξ
+
+
ω
2
u
(0)
3
,
1
ξ
Z
−
0
,
5
(
< G
IJ
3
>
−
G
IJ
3
)
dξ
−
ω
2
u
(0)
3
,
1
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρξ >
−
ρξ
)
dξ
;
σ
(2)
33
= 0;
σ
(3)
33
=
ξ
Z
−
0
,
5
(
< σ
(2)
3
J,J
>
−
σ
(2)
3
J,J
+
ω
2
(
< ρu
(2)
3
>
−
ρu
(2)
3
))
dξ,
так как
u
(1)
I
=
−
ξu
(0)
3
,I
,
u
(1)
2
=
u
(1)
3
= 0
в соответствии с (18).
Следовательно, изгибные напряжения, напряжения межслойного
сдвига и поперечные напряжения согласно (6) при сохранении главных
членов в асимптотических разложениях вычисляются по формулам
σ
IJ
=
−
κ
(
ξC
(0)
IJ
11
u
(0)
3
,
11
+
ω
2
G
IJ
3
u
(0)
3
);
σ
I
3
=
−
κ
2
u
(0)
3
,
111
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ξC
(0)
I
111
>
−
ξC
(0)
I
111
)
dξ
+
κ
2
ω
2
u
(0)
3
,
1
ξ
Z
−
0
,
5
(
< G
IJ
3
>
−
−
G
IJ
3
)
dξ
−
κ
2
ω
2
u
(0)
3
,
1
ξ
Z
−
0
,
5
(
< ρξ >
−
ρξ
)
dξ
;
(59)
112
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2015. № 6