10 / 16
ляризованности и намагничения (“вакуум”), находим
rot
~H
−
∂ ~D
∂t
!
x
= (
~j
)
x
.
Аналогичные зависимости можно получить, рассматривая вторую и
третью строки тензора электромагнитного поля, что дает право запи-
сать окончательный результат
rot
~H
=
~j
+
∂ ~D
∂ t
.
(15)
Анализ дифференциальных операций с компонентами четвертой стро-
ки тензора электромагнитного поля приводит к соотношению
div
~E
=
cρ
r
μ
0
ε
0
,
что эквивалентно уравнению div
~D
=
ρ
.
Закон сохранения электрического заряда.
В классической элек-
тродинамике (аксиоматическая теория, в основе которой лежат урав-
нения Максвелла) закон сохранения электрического заряда рассма-
тривается как следствие (важное, но следствие) системы уравнений
Максвелла. В настоящей работе априори использован аксиоматиче-
ский подход к выводу системы уравнений Максвелла. В этом слу-
чае необходимо показать, что закон сохранения электрического заряда
действительно имеет место.
Выше в качестве исходной посылки было принято предположение,
что 4-вектор потенциала электромагнитного поля и 4-вектор электри-
ческого тока как векторные поля в пространстве Минковского описы-
вают электромагнитное поле. Также было принято, что имеет место
соотношение (8). Вычислим 4-дивергенцию левой и правой частей
этого уравнения
∂
∂x
i
∂F
ik
∂x
k
=
r
μ
0
ε
0
∂j
i
∂x
i
.
(16)
Преобразуем левую часть соотношения (16) к виду
∂
∂x
i
∂F
ik
∂x
k
=
c
∂
∂x
i
∂
∂x
k
∂A
k
∂x
i
−
∂A
i
∂x
k
=
=
c
∂
∂x
i
∂
∂x
i
∂A
k
∂x
k
−
∂
∂x
k
∂
∂x
k
∂A
i
∂x
i
≡
0
.
(17)
Из соотношения (17) следует, что 4-дивергенция электрического то-
ка должна обращаться в нуль (при этом калибровка 4-потенциала
электромагнитного поля не обязательна). В трехмерном пространстве
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1