9 / 16
Уравнения (8) можно записать с использованием 4-потенциала
электромагнитного поля
∂
∂x
k
∂A
k
∂x
i
−
∂A
i
∂x
k
=
∂
∂x
i
∂A
k
∂x
k
−
∂
∂x
k
∂A
i
∂x
k
=
μ
0
j
i
.
(9)
Если для 4-потенциала потребовать выполнения условия калибровки
∂A
k
∂x
k
= 0
,
(10)
то уравнения (9) упрощаются
∂
∂x
k
∂
∂x
k
A
i
=
−
μ
0
j
i
.
Условие калибровки (10) эквивалентно условию калибровки Лоренца
в трехмерном пространстве:
div
~A
+
1
c
2
∂ϕ
∂t
= 0
,
(11)
а уравнения для потенциалов электромагнитного поля в пространстве
трех измерений принимают вид
Δ
−
1
c
2
∂
2
∂t
2
~A
=
−
μ
0
~j
;
(12)
Δ
−
1
c
2
∂
2
∂t
2
ϕ
=
−
ρ
ε
0
.
(13)
Отметим, что полученная система уравнений классической электроди-
намики для потенциалов электромагнитного поля в пространстве трех
измерений содержит три равноправных уравнения: 1) уравнение ка-
либровки Лоренца (11); 2) уравнение для векторного потенциала (12);
3) уравнение для скалярного потенциала электромагнитного поля (13).
Если приведенная система уравнений решена (найдены распределения
векторного и скалярного потенциалов), то “силовые” векторные поля
определяются по соотношениям (3), (4).
Запишем второй постулат через компоненты трехмерных векторов
~E
и
~B
, по первой строке тензора электромагнитного поля получаем
c
∂B
z
∂y
−
∂B
y
∂z
−
i
∂E
x
ic∂t
=
r
μ
0
ε
0
j
x
.
С помощью соотношений
~B
=
μ
0
~H
;
~D
=
ε
0
~E,
(14)
справедливых для неподвижной изотропной среды без эффектов по-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
53