5 / 16
Используем 4-вектор
A
k
как 4-потенциал электромагнитного поля.
“Силовые” векторные поля обычно получают из “потенциальных” по-
лей с помощью операций дифференцирования по координатам рассма-
триваемого пространства. Для возможности физически обоснованного
определения “силовых” векторных полей требуется условие инвари-
антности тензора
Φ
km
относительно градиентного преобразования 4-
потенциала:
A
0
k
=
A
k
+
∂ψ
∂x
k
,
где
ψ
— произвольное скалярное поле в пространстве Минковского.
Симметричная составляющая тензора
Φ
km
не является инвари-
антной структурой относительно градиентного преобразования векто-
ра
A
k
, а антисимметричная составляющая тензора
Φ
km
инвариантна.
С учетом этого определим антисимметричный тензор второго ранга
F
ik
как тензор электромагнитного поля [7]:
F
ik
=
c
∂A
k
∂x
i
−
∂A
i
∂ x
k
=
ce
iklm
e
lmpq
∂A
q
∂x
p
.
Здесь
с
— скорость света в вакууме (скалярная величина, известная
в СТО);
e
iklm
— единичный абсолютно антисимметричный объект че-
твертого ранга — символ Леви-Чивиты. Отметим, что в рассматри-
ваемом пространстве 4-тензор второго ранга
F
ik
является “истинным
тензором”, в общем случае это псевдотензор второго ранга с весом
+2
. Рассмотрим некоторые свойства введенного тензора
F
ik
.
Первое свойство.
4-дивергенция тензора
F
ik
— некоторый 4-вектор,
в общем случае отличный от нуля
∂F
ik
∂x
k
=
s
i
6
= 0
.
Второе свойство.
4-дивергенция тензора
F
∗
ik
=
1
2
e
iklm
F
lm
, ду-
ального антисимметричному тензору электромагнитного поля
F
ik
,
является 4-вектором, тождественно равным нулю для произвольного
4-вектора
A
k
[8]:
∂F
∗
ik
∂x
k
=
F
i
≡
0
.
Основной постулат.
Электромагнитное поле можно описать в
рассматриваемом пространстве Минковского с помощью 4-потенциала
A
k
и 4-вектора тока
j
k
. Определение 4-вектора электрического тока в
соответствии со структурой 4-вектора в СТО
j
k
⇔
(
j
1
, j
2
, j
3
, j
4
) = (
j
x
, j
y
, j
z
, icρ
) = (
~j, icρ
)
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1
49