Аксиоматическое построение системы уравнений классической электродинамики

11 / 16

условие обращение в нуль 4-дивергенции 4-тока имеет вид div ~j +
+
∂ρ
∂t
= 0 . Закон сохранения электрического заряда в рассматриваемом
подходе действительно имеет место.
Физическое содержание формально введенных величин. Рас-
смотрим напряженность электростатического поля в вакууме, обра-
зованного известной объемной плотностью электрического заряда в
соответствии c законом Кулона:
~E=
1
4πε0 Z
V
ρ(~r0)(~r − ~r0)
|~r − ~r 0| 3 dV 0 = −
1
4 πε0
grad Z
V
ρ(~r0)
|~r − ~r0|
dV 0. (18)
Вычислим дивергенцию поля
div ~E= −
1
4πε0
div gradZ
V
ρ(~r 0)
|~r − ~r 0|
dV 0 = −
1
4πε0 Z
V
ρ(~r 0)Δ
1
|~r − ~r 0|
dV 0 =
= −
1
4 πε0 Z
V
ρ(~r 0)(−4πδ (~r − ~r 0))dV 0 =
ρ(~r )
ε0
.
Полученный результат дает представление о ясном физическом смы-
сле введенных векторного ( ~E) и скалярного (ρ) полей.
Рассмотрим стационарное векторное поле магнитной индукции в
вакууме, образованное известной объемной плотностью электрическо-
го тока в соответствии с законом Био-Савара
~B=
μ 0
4π Z
V
~j(~r 0) × (~r − ~r 0)
|~r − ~r 0 |3 dV 0 =
μ0
4π
rot Z
V
~j(~r 0)
|~r − ~r 0|
dV 0. (19)
Вычислим ротор поля
rot ~B=
μ 0
4 π
rot rot Z
V
~j(~r 0 )
|~r − ~r 0|
dV 0 =
=
μ0
4π
grad div Z
V
~j(~r 0)
|~r − ~r 0|
dV 0 −
μ0
4π
Δ Z
V
~j(~r 0)
|~r − ~r 0|
dV 0. (20)
Отметим, что имеет место следующее соотношение:
Δ Z
V
~j(~r 0)
~r − ~r0
dV 0 = Z
V
~j(~r 0 )Δ
1
|~r − ~r 0|
d V 0 =
= −4π Z
V
~j(~r 0)δ(~r − ~r 0)d V 0 = −4 π~j (~r ) .
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2016. № 1 55