К вопросу о симметричности решений линейных матричных дифференциальных уравнений

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

DOI: 10.18698/1812-3368-2016-3-16-26

УДК 517.925

К вопросу о симметричности решений линейных

матричных дифференциальных уравнений

Д.А. Фетисов

МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация

e-mail:

Рассмотрена проблема симметричности решений задачи Коши для линейного

матричного дифференциального уравнения, коэффициенты которого — функ-

ции, аналитические в некоторой области комплексной плоскости. Выведена

формула, описывающая производные высших порядков любого решения такого

уравнения. На основе полученной формулы доказаны достаточные условия сим-

метричности решения задачи Коши для линейного матричного дифференциаль-

ного уравнения. Проверка этих условий сведена к анализу свойств элементов

специальной последовательности матриц. Показано, что при выполнении опре-

деленных условий такую проверку можно проводить не для бесконечного числа

элементов последовательности, а лишь для первых нескольких ее элементов.

Приведен пример линейного матричного дифференциального уравнения, для ко-

торого симметричность решения задачи Коши доказана с помощью предло-

женного условия. Полученные результаты могут быть использованы при реше-

нии различных задач теории управления.

Ключевые слова:

линейное матричное дифференциальное уравнение, симмет-

ричное решение, задача Коши.

To the Problem of Solution Symmetry

for Linear Matrix Differential Equations

D.A. Fetisov

Bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russian Federation

e-mail:

The symmetry of Cauchy problem solution for linear matrix differential equations is

under research in the present article. The coefficients of the equation in question are

supposed to be analytical functions in some domain of the complex plane. We find a

formula for high-order derivatives of an arbitrary solution of the equation. We prove

the sufficient conditions for the symmetry of Cauchy problem solution for linear matrix

differential equations on the basis of the devised formula. To check these conditions,

we need to analyse the properties of the special matrix sequence. Since the sequence

consists of the infinite number of elements, the check is difficult to implement. It is

shown that if some requirements are met, then it is sufficient to check only first several

elements of the sequence. The example of the linear matrix differential equation is giv-

en to illustrate how the proposed condition may be used in proving the solution sym-

metry. The obtained results may be used in solving various problems of the control

theory.

Keywords:

linear matrix differential equation, symmetric solution, Cauchy problem.