8 / 11
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
23
Пример.
Рассмотрим уравнение (1), в котором матрицы
( )
A z
и
( )
B z
имеют вид:
2
2
sin
( ) =
,
( ) =
.
sin 0
0
z
z
z
z e
A z
B z
z
z
Пусть
( )
W z
— решение, удовлетворяющее условию
0
(0) =
W W
, где
0
2 1
=
.
1 0
W
Нетрудно заметить, что матрицы
( )
B z
и
0
W
симметричны. Поскольку
1
( ) = ( ),
P z A z
то
2
3
1
sin sin
( ) ( ) = ( ) ( ) =
;
sin
0
z
z e
z z z
P z B z A z B z
z z
1
0
0
0 1 2 1 1 0
(0) = (0) =
=
0 0 1 0 0 0
P W A W
и условие симметричности матриц
1
( ) ( )
P z B z
,
1
0
(0)
P W
выполнено.
Непосредственные вычисления показывают, что матрица
2
( )
P z
имеет
вид
2
2
2
1
1
2
1
0
( ) = ( )
( ) ( ) = ( )
( ) =
.
0 1
z
P z P z P z A z A z A z
z
Таким образом,
2
0
0
0
( ) = ( ) = ( ) ( ),
P z
z E z P z
где
2
0
( ) = 1 .
z
z
Следо-
вательно, условия теоремы 4 выполнены, поэтому решение
( )
W z
явля-
ется симметрическим в плоскости
.
C
Заключение.
Для линейного матричного дифференциального
уравнения с аналитическими коэффициентами установлена формула
для производных высших порядков любого решения. С помощью по-
лученной формулы доказаны достаточные условия симметричности
решения задачи Коши. Проверка этих условий сведена к анализу
свойств специальной последовательности матриц. Приведен пример
линейного матричного дифференциального уравнения, для которого
симметричность решения задачи Коши установлена с помощью пред-
ложенного условия.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты
№ 14-07-00813, № 16-07-01153) и Министерства образования и науки РФ
(проект № 1711 государственного задания РФ).