Previous Page  2 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 2 / 11 Next Page
Page Background

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

17

Введение.

Задача исследования матричных дифференциальных

уравнений возникает во многих областях науки и техники [1–3]. Так,

матричные дифференциальные уравнения Ляпунова [4–8] широко ис-

пользуются при анализе свойств устойчивости динамических систем, а

матричные дифференциальные уравнения Риккати [8–12] — при реше-

нии задач теории оптимального управления и в задачах фильтрации. В

настоящей работе рассматриваются линейные матричные дифферен-

циальные уравнения [13–17], к проблеме исследования которых при-

водят различные задачи теории управления. В частности, необходи-

мость качественного анализа линейных матричных дифференциальных

уравнений появляется при построении решений терминальных задач

для аффинных систем [18, 19].

В настоящей работе для линейного матричного дифференциально-

го уравнения

= ( )

( )

W A z W B z

(1)

рассматривается задача установления условий, при выполнении кото-

рых решение

( )

W z

уравнения (1), удовлетворяющее условию

0

( ) =

W z

0

,

W

является симметрическим в области

.

D

В уравнении (1)

z

— ком-

плексная переменная;

= ( )

W W z

— неизвестная матрица размерностью

;

n n

( )

A z

и

( )

B z

— заданные матрицы размерностью

,

n n

аналити-

ческие в односвязной области

D

комплексной плоскости

.

C

Простей-

шие примеры показывают, что симметричность матрицы

0

W

, а также

симметричность матриц

( )

A z

и

( )

B z

в области

D

не являются доста-

точным условием симметричности в области

D

решения

( ).

W z

Цель

работы — получение условий симметричности решения

( ),

W z

удобных

для проверки на практике.

Производные высших порядков решения линейного матрич-

ного дифференциального уравнения.

Из аналитичности в односвяз-

ной области

D

матриц

( )

A z

и

( )

B z

следует, что любое решение

( )

W z

уравнения (1) также является аналитическим в области

D

[15–17].

Установим формулу, которой описываются в области

D

производные

высших порядков решения

( )

W z

уравнения (1).

Теорема 1.

Пусть матрицы

( )

A z

и

( )

B z

аналитичны в односвяз-

ной области D

,

а

( )

W z

— произвольное решение уравнения (1) в обла-

сти D. Тогда для любого номера

= 0, 1, 2,

k

в области

D

выполне-

ны равенства

( )

( ) = ( ) ( )

( ),

k

k

k

W z P z W z Q z

(2)

где

{ ( )},

k

P z

{ ( )}

k

Q z

— последовательности матриц, построенные по

формулам