5 / 11
20
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
Согласно теореме 3, чтобы убедиться в симметричности в односвяз-
ной области
D
решения
( )
W z
уравнения (1), удовлетворяющего усло-
вию
0
0
( ) = ,
W z W
где
0
,
z D
требуется доказать симметричность
матриц
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( ) ,
k
P z W
= 0, 1, 2,
k
Покажем, что в не-
которых случаях нет необходимости анализировать свойства всей по-
следовательности
{ ( )},
k
P z
а можно ограничиться рассмотрением лишь
первых нескольких ее элементов. При выполнении определенных усло-
вий можно утверждать, что, если матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
симметричны при
= 0,
1
k m
, то они симметричны и при
.
k m
Обозначим через
M
кольцо
n n
-матриц
= ( ),
P P z
аналитических
в области
.
D
Сопоставим системе (1) отображение
:
,
M M
дей-
ствующее по правилу
( ) =
.
P P PA
В соответствии с определением
отображения
для любых двух матриц
= ( ),
z
= ( )
P P z M
вы-
полняются равенства
(
) = ( )
( );
( ) =
( ),
P
P
P P P
(7)
а элементы
= ( )
k
k
P P z
последовательности
{ ( )}
k
P z
связаны соотноше-
ниями
0
= ,
P E
1
= ( ),
k
k
P
P
= 0, 1, 2,
k
Отметим, что из формулы
(7) следует справедливость для любого
C
соотношения
( ) =
P
( ).
P
Лемма 1.
Пусть
= ( ),
z
= ( )
.
P P z M
Тогда при всех
k N
вы-
полнено равенство
( )
=0
( ) =
( ),
k
j
k
j
k j
k
j
P C
P
(8)
где
!
=
!(
)!
j
k
k
C
j k j
— биномиальный коэффициент.
◄ Применяем метод математической индукции. При
=1
k
доказы-
ваемое утверждение вытекает из свойства (7) отображения
. Пред-
положив, что
1
1
( )
1
1
=0
( ) =
( ),
k
j
k
j
k j
k
j
P C
P
покажем выполнение
равенства (8). Используя соотношение (7), получаем
1
1
( )
1
( )
1
1
1
=0
=0
1
1
( 1)
1
( )
1
1
=0
=0
( ) =
( ) =
( ) =
=
( )
( ).
k
k
j
j
k
j
k j
j
k j
k
k
j
j
k
k
j
j
j
k j
j
k j
k
k
j
j
P
C
P C
P
C
P C
P