Previous Page  4 / 11 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 11 Next Page
Page Background

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3

19

нее соотношение из равенства (6), получаем, что при всех

= 0, 1, 2,

k

выполнены равенства

( )

0

( ) = 0.

k

V z

Из аналитичности в

области

D

матрицы

( )

V z

следует, что

( ) = 0

V z

при всех

,

z D

а это

означает равенство

т

( ) = ( )

W z W z

при всех

z D

. ►

Замечание 1.

Условие симметричности матрицы

0 0 0

( )

P z W

с учетом ра-

венства

0

( ) =

P z E

означает, что симметрической является матрица

0

W

.

Согласно теореме 2, для доказательства симметричности в одно-

связной области

D

решения

( )

W z

уравнения (1) с начальным услови-

ем

0

0

( ) =

W z W

,

0

,

z D

необходимо построить последовательности

{ ( )},

k

P z

{ ( )}

k

Q z

и убедиться в симметричности матриц

0 0

( )

k

P z W

и

0

( ),

k

Q z

= 0, 1, 2,

k

Покажем, что если матрицы

( )

k

P z

удовлетворя-

ют некоторым дополнительным условиям, то все матрицы

( ),

k

Q z

= 0, 1, 2,

k

, симметричны. Следовательно, можно ограничиться по-

строением и проверкой свойств только последовательности

{ ( )}.

k

P z

Теорема 3.

Пусть

( )

W z

— решение уравнения (1) в односвязной

области D

,

удовлетворяющее условию

0

0

( ) = ,

W z W

0

,

z D

матрицы

0 0

( ) ,

k

P z W

= 0, 1, 2,

,

k

симметричны. Если в области

D

матрицы

( ) ( ),

k

P z B z

= 0, 1, 2,

,

k

симметричны, то решение

( )

W z

симмет-

рично в области D.

◄ Для доказательства теоремы покажем методом математической

индукции, что из симметричности в области

D

матриц

( ) ( )

k

P z B z

сле-

дует симметричность в области

D

матриц

( )

k

Q z

,

= 0, 1, 2,

k

При

= 0

k

доказываемое утверждение очевидно, так как

0

( ) = 0.

Q z

Предпо-

ложим, что для некоторого номера

j

матрица

( )

j

Q z

является симмет-

рической. Тогда симметрической будет и матрица

1

( ).

j

Q z

Действи-

тельно, из симметричности матрицы

( )

j

Q z

следует симметричность

матрицы

( ),

j

Q z

поэтому, используя (4) и учитывая симметричность

матрицы

( ) ( ),

j

P z B z

получаем

 

т

т

т

1

( ) = ( )

( ) ( ) =

j

j

j

Q z Q z

P z B z

1

( )

( ) ( ) = ( ).

j

j

j

Q z P z B z Q z

 

Таким образом, все матрицы

( )

k

Q z

яв-

ляются симметрическими в области

.

D

В частности, матрицы

( )

k

Q z

симметричны в точке

0

.

z D

Применяя теорему 2, приходим к утвер-

ждению теоремы 3. ►

Замечание 2.

В силу равенства

0

( ) =

P z E

симметричность в области

D

матрицы

0

( ) ( )

P z B z

означает, что симметрической в области

D

является мат-

рица

( ).

B z