6 / 11
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
21
Выполнив замену индекса
= 1
l j
в первой сумме, запишем равенство
1
1 ( )
( )
1
1
=1
=0
1
( )
1
( )
1
1
=1
( ) =
( )
( ) =
=
( )
( ).
k
k
j
k
l
l
k l
j
k j
k
k
l
j
k
k
l
l
l
k l
k
k
k
l
P C
P C
P
P C C
P
P
Поскольку
1
1
1
=
l
l
l
k
k
k
C C C
, получаем соотношение
( ) =
k
P
1
( )
( )
=1
( )
( ),
k
k
l
l
k l
k
k
l
P C
P
P
которое совпадает с доказывае-
мым равенством (8). ►
Теорема 4.
Пусть
( )
W z
— решение уравнения (1) в односвязной
области D
,
удовлетворяющее условию
0
0
( ) =
W z W
,
0
,
z D
матрицы
0 0
( ) ,
k
P z W
= 0,
1,
k m
симметричны. Если в области
D
матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
= 0,
1,
k m
симметричны и существуют такие аналити-
ческие в области
D
функции
0
( ), ...,
z
1
( ),
m
z
что
1
=0
( ) = ( ) ( ),
m
m
l
l
l
P z
z P z
(9)
то решение
( )
W z
симметрично в области D.
◄ Согласно условию теоремы, матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
симметричны при всех
< ,
k m
поэтому достаточно показать их
симметричность и при
.
k m
Используем метод математической индук-
ции. Если
= ,
k m
то из условия (9) и симметричности матриц
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
при
= 0,
1
k m
следует, что
1
1
т
0 0
0
0 0
0
0 0
=0
=0
1
1
т т
т
т
0
0
0
0
0
0
=0
=0
т т
т
0
0 0
0
1
1
т
=0
=0
( ) = ( ) ( ) = ( )( ( ) ) =
= ( )
( ) =
( ) ( ) =
=
( ) = ( ( ) ) ;
( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( )( ( ) ( )) =
m
m
m
l
l
l
l
l
l
m
m
l
l
l
l
l
l
m
m
m
m
m
l
l
l
l
l
l
P z W z P z W z P z W
z W P z W z P z
W P z
P z W
P z B z
z P z B z
z P z B z