7 / 11
22
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
1
1
т
т
т
=0
=0
т
т
т
= ( ) ( ) ( ) = ( )
( ) ( ) =
= ( )
( ) = ( ( ) ( )) .
m
m
l
l
l
l
l
l
m
m
z B z P z B z
z P z
B z P z P z B z
Предположим, что для некоторого номера
s
матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
симметричны при всех
= 0,
1.
k m s
Покажем, что
матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
симметричны и при
= .
k m s
Согласно лемме 1,
1
1
=0
=0
1
1
( )
( )
=0 =0
=0 =0
( ) =
( ) =
( ) ( ) =
( ) ( ) =
=
( )
( ( )) =
( )
( )
m
m
s
s
s
m s
m
l
l
l
l
l
l
m s
m s
j
j
j
s j
j
s
l
s
l s j
l
l
l
j
l
j
P z
P z
z P z
z P z
C z
P z
C z P z
и в полученной сумме присутствуют лишь матрицы
0
( ), ...,
P z
1
( ),
m s
P z
тогда, воспользовавшись предположением индукции, имеем
1
( )
=0 =0
1
1
т
( )
( )
т
т
=0 =0
=0 =0
1
т
( )
т
т
т
=0 =0
( ) ( ) =
( )
( ) ( ) =
=
( )
( ) ( ) =
( ) ( )
( ) =
= ( )
( )
( ) = ( )
( ) = ( ) ( ) .
m s
j
j
m s
s
l s j
l
l
j
m s
m s
j
j
j
j
s
l s j
s
l s j
l
l
l
j
l
j
m s
j
j
s
l s j
m s
m s
l
l
j
P z B z
C z P z B z
C z P z B z
C z B z P z
B z
C z P z B z P z P z B z
Аналогично проверяется, что
т
0 0
0 0
( ) = (
( ) ) .
m s
m s
P z W P z W
Таким
образом, матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
симметричны при всех
.
k
Из теоремы 3 следует, что решение
( )
W z
симметрично в обла-
сти
D
. ►
Согласно теореме 4, чтобы убедиться в симметричности в одно-
связной области
D
решения
( )
W z
уравнения (1) с начальным услови-
ем
0
0
( ) =
W z W
,
0
,
z D
необходимо доказать существование такого
номера
,
m
что при
1
k m
матрицы
( ) ( ),
k
P z B z
,
z D
и
0 0
( )
k
P z W
яв-
ляются симметрическими, а матрица
( )
m
P z
представима в виде (9).
С учетом замечаний 1 и 2 проверка симметричности матриц
0
( ) ( )
P z B z
и
0 0 0
( )
P z W
сводится к проверке симметричности матриц
( )
B z
и
0
.
W