3 / 11
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. «Естественные науки». 2016. № 3
0
1
( ) = ,
( ) = ( )
( ) ( ),
= 0, 1, 2, ,
k
k
k
P z E P z P z P z A z k
(3)
0
1
( ) = 0,
( ) = ( )
( ) ( ),
= 0, 1, 2, ,
k
k
k
Q z
Q z Q z P z B z k
(4)
E
—
единичная
n n
-матрица
.
◄ Для доказательства утверждения теоремы будем использовать
метод математической индукции. При
= 0
k
доказываемое утвержде-
ние очевидно. Предполагая, что для некоторого номера
j
справедливо
равенство
( 1)
1
1
( ) = ( ) ( )
( ),
j
j
j
W z P z W z Q z
(5)
покажем, что
( )
( ) = ( ) ( )
( ).
j
j
j
W z P z W z Q z
Дифференцируя по
z
соот-
ношение (5) и учитывая равенство
( ) = ( ) ( ) ( ),
W z A z W z B z
получаем
( )
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
( ) = ( ) ( )
( ) ( )
( ) =
= ( ) ( )
( )( ( ) ( ) ( ))
( ) =
= ( ( )
( ) ( )) ( )
( )
( ) ( ) = ( ) ( )
( ).
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
W z P z W z P z W z Q z
P z W z P z A z W z B z Q z
P z P z A z W z Q z P z B z P z W z Q z
Из доказанного вытекает справедливость соотношений (2). ►
Условия симметричности решения задачи Коши для линейно-
го матричного дифференциального уравнения.
Докажем достаточ-
ное условие симметричности решения
( )
W z
уравнения (1).
Теорема 2.
Пусть
( )
W z
— решение уравнения (1) в односвязной
области
D
,
удовлетворяющее условию
0
0
( ) =
W z W
,
0
.
z D
Если мат-
рицы
0 0
( )
k
P z W
и
0
( ),
k
Q z
= 0, 1, 2,
,
k
симметричны, то решение
( )
W z
симметрично в области D.
◄ Рассмотрим матрицу
( ) = ( )
( ).
V z W z W z
Из аналитичности в
области
D
матрицы
( )
W z
следует, что матрица
( )
V z
также является
аналитической в области
D
.
Согласно формуле (2), производная произвольного
k
-го порядка
матрицы
( ),
W z
вычисленная в точке
0
,
z
описывается выражением
( )
0
0 0
0
( ) = ( )
( ),
k
k
k
W z P z W Q z
(6)
а производная
k
-го порядка матрицы
( )
W z
— соотношением
т ( )
т
т
[ ] ( ) = ( ( ) ( ))
( ).
k
k
k
W z P z W z
Q z
С учетом симметричности матриц
0 0
( )
k
P z W
и
0
( )
k
Q z
производная
k
-го порядка матрицы
( ),
W z
вычисленная в точке
0
,
z
может быть
найдена по формуле
т ( )
0
0 0
0
[ ] ( ) = ( )
( ).
k
k
k
W z P z W Q z
Вычитая послед-