Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
47
аппроксимация спектров динамических систем, малоранговая аппроксимация
больших матриц, восстановление потенциальной части трехмерного векторного
поля, численное обращение операторов лучевых преобразований в двухмерной
компьютерной томографии, исследование динамических систем с кратными ган-
келевыми сингулярными числами, квантовая теория информации [5–10].
Некоторые практические задачи связаны с получением надежных оценок экс-
тремальных сингулярных чисел. Новые алгоритмы сингулярного разложения
больших матриц, основанные на малоранговой тензорной аппроксимации, называ-
емой TT-форматом (tensor train format), предложены в работе [11]. Указанные ал-
горитмы позволяют вычислять несколько экстремальных (т. е. наибольших или
наименьших) сингулярных чисел и соответствующих сингулярных векторов для
больших структурированных матриц, заданных в TT-формате. Возникающая в
процессе вычислений задача оптимизации большой размерности редуцируется к
последовательности задач оптимизации меньшей размерности (при этом каждый
тензор ядра блочной TT-декомпозиции может быть уточнен с использованием лю-
бого стандартного метода сингулярного разложения). Численные эксперименты
проведены для нескольких типов TT структурированных матриц, таких как гиль-
бертовы матрицы, случайные матрицы с заданными сингулярными числами, ган-
келевы и теплицевы матрицы, трехдиагональные матрицы. Показана более высокая
эффективность предложенных алгоритмов при определении нескольких экстре-
мальных сингулярных чисел и соответствующих векторов по сравнению со стан-
дартными алгоритмами сингулярного разложения. К этому направлению также
следует отнести задачи построения неотрицательных матриц с заданными экстре-
мальными сингулярными числами, которые рассмотрены в работе [12]. При этом
необходимо учитывать, что сингулярные числа, подобно собственным значениям,
не являются всюду дифференцируемыми функциями элементов матриц [13]. Сле-
довательно, решение задач, связанных с поиском экстремальных сингулярных чи-
сел матриц, предполагает, в частности, применение методов негладкого анализа и
специальных методов анализа чувствительности сингулярных чисел [14, 15].
В последнее время широкое распространение получили алгоритмы анализа
сингулярных спектров [16]. Это обусловлено простотой структуры и низкой вы-
числительной стоимостью их реализации. В работе [16] на основе сравнения ре-
зультатов, полученных с использованием указанного подхода и методов глобаль-
ной оптимизации, установлена достаточная эффективность анализа сингулярных
спектров, в частности, применительно к построению различных моделей иссле-
дований. Вместе с тем, наблюдаемое увеличение вычислительной стоимости ре-
шаемых задач, связанное с ростом размера матриц исследуемых систем, стимули-
рует создание более эффективных алгоритмов.
Цель настоящей работы — разработка новых гибридных алгоритмов гло-
бальной недифференцируемой оптимизации, ориентированных на решение за-
дач определения экстремальных сингулярных чисел матриц, зависящих от па-
раметров.