Previous Page  7 / 21 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 21 Next Page
Page Background

В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов

52

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

Выделим на числовой оси открытый интервал

( , ),

p q

содержащий точку, в

которой плюс-функция

 

x

имеет указанную особенность, и на этом интерва-

ле заменим плюс-функцию некоторой приближенной функцией, выпуклой и

дифференцируемой в каждой точке по построению. Пусть выбраны числа

0

p

и

0.

q

Введем двухпараметрическую аппроксимацию плюс-функции

 

: R R

[28]:

 

0, если

;

, ,

, ,

, если

;

, если

.

x p

x p q s x p q

p x q

x

x q

(13)

Здесь

,

p q

— параметры аппроксимации, определяющие левую и правую гра-

ницы открытого интервала

( , ),

p q

на котором задана сглаживающая функция

, ,

.

s x p q

Приближенная функция

, ,

x p q

совпадает с исходной плюс-

функцией

 

x

всюду, за исключением интервала

( , ).

p q

Потребуем, чтобы

функция

, ,

s x p q

была выпуклой и по крайней мере один раз дифференциру-

емой на интервале

( , ).

p q

При этом

 

  

0, ,

, ,

s p q p p q

где

 

,

p q

определя-

ется свойствами сглаживающей функции. Некоторые существенные свойства

сглаженной плюс-функции устанавливают следующие утверждения.

Лемма 1 [28].

Если аппроксимирующая функция

 

: R R

определена в виде

(13) и заданы параметры

 

0,

0,

p q

то

 

 

0, 0

lim ( , , ) ( ).

p q

x p q x

Лемма 2 [28].

Пусть выполнены предположения леммы 1. Тогда

 

      

0 ( , , ) ( )

( , )

R.

x p q x p p q x

В работе [28] также получена оценка приближенного решения задачи ло-

кальной минимизации определенной в виде (10) не всюду дифференцируемой

критериальной функции

: R R

n

f

при использовании двухпараметрических

сглаживающих аппроксимаций.

Теорема 1 [28].

Пусть

*

R

n

x

и

R

n

x

суть точки минимума для функций

( )

f x

и

( , , )

f x p q

соответственно. Тогда

 

  

 

 

*

R

0 ( , , ) ( )

min 1, ( 1) ( , ) .

n

x X

f x p q f x p

m p q

Представим параметры

,

p q

сглаживающей аппроксимации иначе: выберем

0

q

и постоянную

 

0,

так что

 

p q

и

   

( , ) ( , ).

p q

q q

Введем обозна-

чение

    

, ,

( , , ).

x q

x q

Предложение.

Пусть

{ } 0

k

q

есть последовательность положительных

чисел; предположим, что

k

x

решение гладкой задачи