Previous Page  5 / 21 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 21 Next Page
Page Background

В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов

50

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

числительная процедура, позволяющая определять значения функции в точках

допустимой области. Кроме того, необходимо учесть возможную высокую тру-

доемкость вычисления критериальных функций, что может потребовать значи-

тельных вычислительных ресурсов.

Методы локальной оптимизации.

Рассмотрим скалярную задачу оптими-

зации:

найти

min ( ),

x X

f x

(8)

где допустимое множество

R

n

X

переменных управления

x

является замкну-

тым и выпуклым, а целевая функция

: R R

n

f

предполагается непрерывной и

почти всюду дифференцируемой на множестве

.

X

Существенный интерес пред-

ставляет случай, когда функция

f

— это негладкая невыпуклая функция. При

этом задачи, формулируемые аналогично (8), относят к классу задач недифферен-

цируемой оптимизации [25]. Для их решения применяют специальные методы,

например, модифицированный метод дискретных градиентов, семейство bundle-

методов, метод гиперболической сглаживающей функции и др. [25–27]. Рассмат-

риваемый далее подход основан на построении сглаживающих аппроксимаций

критериальных функций с последующим применением эффективных методов,

разработанных для задач дифференцируемой оптимизации. Одно из его преиму-

ществ — возможность создания программного обеспечения, позволяющего нахо-

дить приближенные решения при относительно низкой вычислительной стоимо-

сти. Подход предполагает замену каждой недифференцируемой функции некото-

рой ее аппроксимацией, которая будет выпуклой и дифференцируемой в области

допустимых значений переменных управления.

Определение [26].

Пусть

: R R

n

f

— непрерывная функция. Сглаживаю-

щей для функции

f

называют функцию

 

: R R R,

n

f

если

( , )

f x

непре-

рывно дифференцируема на множестве

R

n

для любого фиксированного

 

0

и

любого

R ,

n

x

причем



 

0

lim ( , ) ( ).

f x

f x

На основе введенного определения в работе [26] предложен следующий

численный метод сглаживания.

1.

Инициализация.

Определить параметрическую сглаживающую функцию

 

: R R R

n

f

для аппроксимации функции

.

f

2.

Внутренний цикл итераций.

Применить алгоритм поиска приближенно-

го решения (точное решение не требуется) гладкой задачи оптимизации:

найти

min ( , )

k

x X

f x

(9)

для фиксированного

 

0.

k