Previous Page  3 / 21 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 21 Next Page
Page Background

В.Д. Сулимов, П.М. Шкапов, А.В. Сулимов

48

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

Постановка задач.

Пусть дана матрица

R

r c

n n

A

с полным столбцовым

рангом,

;

r

c

n n

R

— 

множество действительных чисел. Сингулярное разложе-

ние рассматриваемой матрицы определяют в виде [16]

 

т

,

A U V

(1)

где

1

[ , ... ,

] R

r c

c

n n

n

U u u

— ортонормированное множество левых сингуляр-

ных векторов;

   

1

diag ,...,

c

n

R

c c

n n

— матрица, содержащая сингулярные

числа матрицы

,

A

упорядоченные (для определенности) по убыванию

      

1 2

...

0;

c

n

1

[ , ... ,

] R

c c

c

n n

n

V v v

— ортогональная матрица правых

сингулярных векторов;

,

r

c

n n

– число строк и столбцов матрицы

A

. Сингуляр-

ные тройки матрицы

A

(1) могут быть определены в виде

, ,

,

i

i

i

u v

1, ... , .

c

i

n

При оптимизации сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров,

возможны следующие постановки экстремальных задач. Пусть задан вектор пе-

ременных управления (параметров оптимизации)

x

и определена матрица

( ) R .

r c

n n

A x

Решение прямой задачи, связанной с поиском сингулярных чисел

матрицы

( ),

A x

может быть получено как решение задачи на собственные зна-

чения

( ),

i

x

1, ... , ,

c

i

n

матрицы

т

( ) ( ):

A x A x

  

( )

( ),

i

i

x

x

1,...,

c

i

n

[17]. Не-

которые современные методы определения сингулярных троек, в частности, для

больших матриц, представлены в работах [17, 18].

Задача максимизации

минимального сингулярного числа

min

матрицы

( ) :

A x

требуется найти

min

max ( ( )),

x X

A x

(2)

где

R

n

X

— область допустимых значений переменных управления;

n

— число

переменных управления. В процессе численного решения задачи (2) сингулярные

числа

( ) ,

i

A x

1, 2,... , ,

c

i

n

могут изменяться, при этом выполняется их авто-

матическая перенумерация с упорядочением по убыванию. Следовательно, при

наличии кратных сингулярных чисел критериальная функция сформулированной

задачи оптимизации не является всюду дифференцируемой [9, 13].

Задача минимизации максимального сингулярного числа

max

матрицы

( ):

A x

требуется найти

 

 

*

min .

x X

f x

f x

(3)

Здесь

 

 

 

max

;

f x

A x

*

x

— глобальное решение.

В некоторых приложениях может потребоваться одновременная миними-

зация

max

и максимизация

min

матрицы

( ) R ,

r c

n n

A x

причем частные