Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
49
критерии задачи находятся в конфликте. Возможна следующая формулировка
векторной задачи оптимизации сингулярных чисел:
требуется найти
max
min
min ( ( )),
( ( )) .
x X
A x
A x
(4)
Следует отметить, что в сформулированных задачах оптимизации сингу-
лярных чисел, включая векторную задачу (4), в общем случае частные критерии
являются липшицевыми, многоэкстремальными и не всюду дифференцируе-
мыми функциями [13]. Указанные особенности рассматриваемых экстремаль-
ных задач требуют выбора специальных методов их решения, в частности, ме-
тодов глобальной недифференцируемой оптимизации. К настоящему времени
разработано и находит применение большое число алгоритмов глобальной оп-
тимизации [19]. Накопленный опыт приложений демонстрирует, с одной сто-
роны, недостаточную эффективность детерминированных методов (существен-
но ограничена размерностью задачи), с другой — потребность в значительных
вычислительных ресурсах при использовании стохастических методов [20, 21].
Этим обусловлена актуальность разработки гибридных алгоритмов глобальной
оптимизации [22, 23]. Подобные алгоритмы объединяют стохастические алго-
ритмы сканирования пространства переменных и детерминированные проце-
дуры локального поиска. Для решения векторной задачи (4) с многоэкстре-
мальными частными критериями требуется применение специальных методов
многокритериальной глобальной оптимизации [24]. Далее рассмотрена экстре-
мальная задача в скалярной постановке, для решения которой предложена чис-
ленная методика с применением гибридных алгоритмов глобальной недиффе-
ренцируемой оптимизации.
В обобщение постановок скалярных экстремальных задач (2), (3) для сингу-
лярных чисел матриц, зависящих от параметров, рассмотрим задачу глобальной
оптимизации, формулируемую в виде:
найти
*
R
min ( ),
n
x X
f x
f x
(5)
где
: ( ) 0,
;
i
X x D g x i I
(6)
R :
,
;
n
j
j
j
D x
a x b j J
(7)
( )
f x
— целевая функция;
i
g x
— функции ограничений задачи,
;
i I
1,...,
g
I
m
— конечное множество индексов;
g
m
— число функций ограни-
чений;
D
— область поиска;
,
j
j
a b
— нижнее и верхнее ограничения на пере-
менную
;
j
x
{1,..., }.
J
n
Функции
( ),
f x
( ),
i
g x
,
i I
задачи (5)–(7) предполага-
ются непрерывными липшицевыми, действительная функция
: R R
n
f
явля-
ется многоэкстремальной, не всюду дифференцируемой, и для нее задана вы-