Previous Page  6 / 21 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 21 Next Page
Page Background

Оптимизация сингулярных чисел матриц, зависящих от параметров…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5

51

3.

Внешний цикл итераций

. Изменить параметр

k

с тем, чтобы гарантиро-

вать сходимость метода сглаживания к локальному минимуму или к стационар-

ной точке негладкой задачи (8).

В работе [26] отмечено, что эффективность метода сглаживания зависит от

выбора функции для построения сглаживающей аппроксимации, метода реше-

ния гладкой задачи оптимизации (9), а также схемы изменения параметра сгла-

живания

.

k

Так, если функция

f

ограничена и выполнено условие

 

( ) ( , )

f x f x

 

R ,

n

x

 

0,

то задача (9) имеет решение для любого фиксированного параметра

 

0.

k

Рассмотрим задачу (5)–(7), ограничившись поиском локального решения.

Предварительно исследуем процедуру минимизации некоторой функции

: R R,

n

f

определенной в виде [28]

 

 

 

R

( ) max

( ) ,

1, ... ,

.

n

i

m

x X

f x

x i I

m

(10)

Здесь

X

— допустимое множество; предположим, что все функции

 

( ),

,

i

m

x i I

выпуклы и непрерывно дифференцируемы.

Целевую функцию (10) можно определить в эквивалентной форме

      

1

2

1

( )

( )

( ) ( )

f x

x

x

x

         

1

2

1

...

(

( )

( ) ( ( )

( )))... ,

m

m

m

m

x

x

x

x

(11)

где использованы функции

 

    

R

( )

( )

max 0,

( ) ,

.

n

i

i

i

m

x X

x

x

x i I

(12)

Содержание подхода заключается в том, чтобы каждую функцию

 

( ) ,

i

x

,

m

i I

входящую в (11), заменить некоторой гладкой функцией, построить

сглаженную приближенную целевую функцию, а затем применить эффективные

методы гладкой минимизации. При возрастании точности аппроксимации

функций (12) имеет место сходимость приближенного локального решения к

точному решению.

Существенно, что уже в одномерном случае плюс-функция

  

( )

( )

x

x

R

max{0, }

x

x

в точке

0

x

дифференцируема только по направлению; при этом

плюс-функция

( )

x

является выпуклой и глобально непрерывной по Липшицу.

Известно (например, см. [26]), что для любой локально непрерывной по Лип-

шицу функции

f

можно построить сглаживающую функцию с использованием

свертки

 

  

R

( , )

(

) ( )

n

f x

f x y y dy

 

R

( ) (

) ,

n

f y x y dy

 

,

R ,

n

x y

где

 

: R R

n

— гладкая функция ядра.