5 / 17
Сравнительный анализ оценок теплопроводности…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 5
71
проводности композита будут совпадать с координатными осями
.
Ox
Главные
оси тензора
*
ˆ ,
обратного тензору
*
,
λ
также совпадают с координатными
осями.
Выделенный прямоугольный параллелепипед является представительным
элементом структуры однонаправленного волокнистого композита и обладает
идентичными с ним характеристиками теплопроводности. При одинаковом для
всех волокон радиусе
r
предельное значение
*
V
C
их объемной концентрации
V
C
будет равно
/ 4 0, 7854.
Если на двух противоположных гранях паралле-
лепипеда задать не равные значения температуры, то применение двойственной
вариационной формулировки в виде сочетания альтернативных функциона-
лов (4), (8) и соотношения (9) позволяет оценить главное значение тензора
*
,
λ
соответствующее координатной оси, перпендикулярной этой грани. Последова-
тельное изменение выбираемых противоположных граней параллелепипеда да-
ет возможность получить оценки для всех трех главных значений этого тензора,
характеризующих полусумму установленных граничных значений.
Теплопроводность композита вдоль волокон.
Применим двойственную
вариационную формулировку задачи установившейся теплопроводности к
оценке главного значения
*
3
тензора
*
λ
эффективной теплопроводности од-
нонаправленного волокнистого композита в направлении, параллельном во-
локнам. На грани
3
= 0
x
прямоугольного параллелепипеда зададим нулевое
значение температуры, а на грани
3 3
=
x B
— значение
3
.
T
Остальные грани па-
раллелепипеда полагаем идеально теплоизолированными. Примем в области
,
V
соответствующей выбранному выше представительному элементу структуры
композита, в качестве допустимого для функционала (4) линейное распределе-
ние температуры
3
3 3 3
( ) = / .
T x T x B
Тогда этот функционал будет равен
2
3
3
3 2
3
=
( ) ( ).
2
V
T J
M dV M
B
Здесь
3
= ,
если точка
M V
принадлежит подобласти, занятой матрицей
композита, и
3
= ,
если эта точка соответствует волокну. В результате полу-
чим
2
3
1 2
3
3
1
=
,
2
V
V
C C
J
T B B
B
(10)
где
= / .
Принятому линейному распределению температуры соответствует вектор
q
плотности теплового потока, имеющий единственные составляющие
3
3 3
= / = const
q
T B
в матрице и
3
3 3
= / = const
q
T B
в волокнах, что приве-
дет к значению максимизируемого функционала (8)