где
B
i
= diag (
a
i
, b
i
, c
i
)
— постоянная матрица, а
η
i
— скалярный пара-
метр. Параметры
a
i
, b
i
, c
i
, η
i
находятся непосредственной подстанов-
кой решения (15) в уравнения (10) (по причине громоздкости уравне-
ния для данных параметров не приведены).
С учетом выражений (15) динамическая связь всех осцилляторов
цепочки с эффективным осциллятором, а также связь двух произволь-
ных осцилляторов в первом приближении записывается уравнениями
вида
X
i
(
t
) = (
I
+
m
i
)
X
(
t
+
ϕ
i
)
,
X
i
(
t
) = (
I
+
m
i
−
m
k
)
X
k
(
t
+
ϕ
i
−
ϕ
k
)
,
i
= 1
,
2
. . . , N, k
= 1
,
2
. . . , N
(16)
где
m
i
=
μB
i
,
ϕ
i
=
μη
i
. Элементы матриц
m
i
, также как и постоянные
ϕ
i
, пропорциональны малым параметрам
δh
i
h
0
,
δT
i
Δ
T
0
и они обращаются
в нуль при равенстве обеих расстроек нулю. Отметим, что если колеба-
ния “эффективного” осциллятора (функцию
X
(
t
))
принять в качестве
эталона и при этом считать единичную матрицу
I
эталонной ампли-
тудой, а время
t
— эталонной фазой, то по аналогии с гармоническими
колебаниями (здесь эталоном является функция
sin
t
) выражение
I
+
+
m
i
можно считать “амплитудой” колебаний
i
-гоосциллятора, а
ϕ
i
— разностью фаз колебаний этого осциллятора и эталона.
Таким образом, стационарная конвективная структура в неодно-
родном слое описывается векторным уравнением (2) с параметрами
(13), а движения жидкости в различных конвективных ячейках связа-
ны уравнениями (16).
Выводы.
Условия устойчивости конвективной структуры в слое
жидкости принципиально отличаются в зависимости от характера те-
чения жидкости (ламинарного или турбулентного) в конвективных
ячейках.
Если течение жидкости ламинарное, а значит
ε
∗
(
λ
max
) 0
, то из
(5) следует устойчивость роликовой конвекции при любой, в том чи-
сле и при сколь угодно малой величине связи между конвективными
ячейками. При этом из неравенства (6) следует, что структура устойчи-
ва при любых, в том числе и неограниченных значениях
N
. Другими
словами, структура с ламинарным конвективным течением устойчива
при любых геометрических размерах слоя жидкости.
Однако, как только течение переходит в турбулентную фазу (на-
пример, за счет увеличения температуры подогрева), а, следователь-
но, максимальный ляпуновский показатель движения становится по-
ложительным, то ситуация меняется принципиально. В этом случае
устойчивость структуры возможна только для ограниченного числа
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
59
