осцилляторов цепочки, наблюдаемые в их парциальных фазовых про-
странствах, становятся синхронными.
В пределе получаем
X
i
−
1
−
2
X
i
+
X
i
+1
= 0
, и, как следует из (3),
цепочка распадается на
N
синхронизованных элементарных осцилля-
торов — на
N
независимых конвективных ячеек с синхронизованным
вращением валов. Кроме того, из условия
˙
X
i
= ˙
X
j
, ко то ро е также
следует из (3), получаем, что вращение жидкости в соседних конвек-
тивных ячейках согласовано так, как это показано на рисунке,
а
(в
противоположные стороны).
Таким образом, синхронизация осцилляторов, соответствующая
стационарной конвективной структуре в однородном слое, являет со-
бой движения системы (3) на аттракторе
A
0
интегрального многообра-
зия
M
0
. Далее устойчивость структуры исследуем как устойчивость
этого многообразия по отношению к возмущениям начальных условий
системы (3) из окрестности аттрактора
A
0
.
Нетрудно показать, что локальная устойчивость многообразия
M
0
потрансверсалям
U
i
=
X
i
−
X
i
+1
,
i
= 1
, N
−
1
, а значит, и син-
хронизации осцилляторов в цепочке (3) определяются устойчивостью
тривиального решения уравнения вида
˙
U
= (
I
N
−
1
⊗
J
0
(
ξ
)
−
εD
N
−
1
⊗
C
)
U,
(4)
где
U
= (
U
1
, U
2
, . . . , U
N
−
1
)
т
;
J
0
(
ξ
)
— матрица Якоби парциального
осциллятора,
ξ
∈
A
0
;
D
N
−
1
=
2
−
1 0
· · · · · ·
0 0
−
1 2
−
1
. . .
· · ·
0 0
0
−
1 2
. . . . . .
0 0
...
. . . . . . . . . . . . . . .
...
...
...
. . . . . .
2
−
1 0
0 0 0
. . .
−
1 2
−
1
0 0 0
· · ·
0
−
1 2
.
Используя результаты работ [32, 33], можнопоказать, чтоусловием
(необходимым и достаточным) устойчивости решения
U
= 0
уравне-
ния (4) является неравенство
ε > ε
∗
(
λ
max
)
4 sin
2
π
2
N
.
(5)
Здесь величина
ε
∗
— некоторая функция аргумента
λ
max
, возрастающая
при
λ
max
>
0
и равная нулю при
λ
max
0
. Кроме того, она зависит
от структуры связей осцилляторов — значений элементов
c
i
матрицы
C
. В частности, если
C
=
I
, то
ε
∗
(
λ
max
) =
λ
max
[33]. Выражение
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
55
