Таким образом, оставшаяся часть задачи о синхронизации осцил-
ляторов в неоднородном случае состоит в определении вида уравнений
эффективного осциллятора, а также вида упомянутых связей.
Искомую связь переменных представим в параметрической форме
с параметром
X
в виде степенных рядов по малому параметру
μ
:
X
i
=
X
+
μX
i
1
(
X
) +
μ
2
X
i
2
(
X
) +
. . . , i
= 1
,
2
, . . . , N.
(7)
Здесь параметр
X
имеет двоякий смысл: с одной стороны, это пара-
метр многообразия
M
μ
и (7) — параметрические уравнения данного
мно го о бразия, а с друго й сто ро ны, о н является динамической пере-
менной “эффективного” осциллятора.
Представим искомое уравнение эффективного осциллятора в виде
˙
X
=
F
(
X
) +
μF
∗
(
X
) +
μ
2
F
∗∗
(
X
) +
. . .
(8)
Таким образом, задача свелась к определению вида функции
F
∗
(
X
)
,
F
∗∗
(
X
)
, . . . , X
i
1
(
X
)
, X
i
2
(
X
)
, . . .
Выбор функций
F
∗
(
X
)
,
F
∗∗
(
X
)
, . . .
проводим из условия их не-
зависимости от индекса
i
, что очевидно, а также из требования устой-
чивости решений обыкновенных дифференциальных уравнений для
X
ij
(
X
)
, получаемых при подстановке (7) и (8) в уравнения (3).
Выполняя стандартные для метода малого параметра процедуры,
поаналогии с [17] получаем
F
∗
(
X
) =
N
−
1
N
i
=1
F
∗
i
(
X
) = 0
, а далее и
первое приближение уравнения эффективного осциллятора:
˙
X
=
N
−
1
N
i
=1
F
i
(
X
)
.
(9)
С учетом (9) для нахождения функций первого приближения
X
i
1
(
X
)
получаем цепочку уравнений
∂X
i
1
∂X
F
−
∂F
∂X
X
i
1
+
εC
(
−
X
i
−
1
,
1
+ 2
X
i
1
−
X
i
+1
,
1
) =
F
∗
i
, i
= 1
, N,
(10)
с граничными условиями
X
01
≡
X
11
,
X
N
+1
,
1
≡
X
N
1
.
Для нахождения возмущений
F
∗
i
уравнений (10) следует обратить-
ся к исходным уравнениям Навье–Стокса (с приближениями Бусси-
неска) для слоя жидкости глубиной
h
i
и разностью температур его
плоскостей
Δ
T
i
(“парциального” слоя).
Применяя к этим уравнениям метод Бубнова–Галеркина и ограни-
чиваясь первыми приближениями [21], для размерных амплитуд пер-
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
57
