С учетом вышеизложенного приходим к рассмотрению решетки
осцилляторов вида
˙
X
i
=
F
(
X
i
)
−
εC
(
−
X
i
−
1
+ 2
X
i
−
X
i
+1
) +
μF
∗
i
(
X
i
, μ
)
,
i
= 1
, N
(3)
с граничными условиями
X
0
≡
X
1
,
X
N
≡
X
N
+1
как дискретной мо-
дели для исследования одномерной конвективной структуры в огра-
ниченном слое жидкости. При этом
X
i
= (
x
1
i
, x
2
i
, . . . , x
mi
)
т
,
x
ji
∈
R
1
,
F
(
X
i
)+
μF
∗
i
(
X
i
, μ
) =
F
i
(
X
i
)
:
R
m
→
R
m
;
ε
— скалярный параметр
связи;
C
= (
m
×
m
) = diag (
c
1
c
2
. . . c
m
)
,
c
i
0
.
Добавки
μF
∗
i
(
X
i
, μ
)
в правых частях уравнений, которые считаем
ограниченными:
F
∗
i
(
X
i
, μ
)
< K
, появляются естественным поряд-
ком при рассмотрении неоднородного слоя. В этом случае положим,
чтопараметры функции
F
(
X
i
)
являются средними поансамблю, при-
чем изменения локальных параметров системы относительно средних
будем считать достаточно малыми. Этот факт отражен в (3) безразмер-
ным малым параметром
μ
.
Отметим, чтоматематическая модель 2D-структур в слое жидко-
сти, ограниченном по обоим горизонтальным направлениям, выглядит
аналогично. Для ее получения каждый осциллятор в уравнениях (3)
снабжается второй дискретной координатой, а одномерный дискрет-
ный лапласиан в выражении связей (скобка) заменяется двумерным.
2. Устойчивость конвективной структуры в однородном слое
жидкости.
Положим в уравнениях (3)
μ
= 0
, что соответствует одно-
родному слою жидкости, и дадим для этого случая следующее мате-
матическое описание синхронизации осцилляторов, справедливое вне
зависимости от характера их парциальной динамики.
В фазовом пространстве
G
= (
X
1
, X
2
, . . . , X
N
)
системы (3) суще-
ствует интегральное многообразие
M
0
=
{
X
1
=
X
2
=
. . .
=
X
N
−
1
=
=
X
N
}
(гиперплоскость), заполненное фазовыми траекториями ос-
циллятора (2), уравнения которого совпадают с уравнением каждо-
го из парциальных осцилляторов цепочки. В этом можно убедиться
непосредственной проверкой. Аттрактор
A
0
данного осциллятора (в
частности, аттрактор Лоренца)
A
0
⊂
M
0
. Кро ме
A
0
, других аттракто-
ров, лежащих на многообразии
M
0
, нет. Проекции этого аттрактора на
парциальные фазовые пространства осцилляторов тождественно со-
впадают:
π
X
i
(
A
0
)
≡
π
X
j
(
A
0
)
,
i, j
= 1
, N
и являются “наблюдаемыми
аттракторами” индивидуальных осцилляторов.
Если названное многообразие устойчиво по всем трансверсалям
U
ij
=
X
i
−
X
j
, то все соседние с многообразием фазовые траекто-
рии притягиваются гиперплоскостью и стремятся к аттрактору
A
0
. По
мере приближения траекторий системы (3) к аттрактору
A
0
выраже-
ние
X
i
−
X
j
→
0
и, следовательно, движения всех элементарных
54
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
