хаоса, условий существования структур различного типа и др. Об аде-
кватности названных моделей свидетельствуют многочисленные дан-
ные экспериментальных исследований структур в гидродинамических
течениях [13, 14], структур в жидких кристаллах [15, 16], в автока-
талитических химических реакциях [17, 18] и других неравновесных
системах [19].
Настоящая статья посвящена вопросам устойчивости структуры
тепловой конвекции Рэлея–Бенара в однородном и слабо неоднород-
ном слоях жидкости.
1. Конвективные структуры в контексте синхронизации ос-
цилляторов.
Будем рассматривать роликовую структуру конвекции
в подогреваемом слое жидкости, давно ставшую классическим при-
мером 1D-структур в сильно неравновесных системах. Как известно,
она примечательна и тем, что в трехмодовом приближении уравне-
ний Навье–Стокса (первые галеркинские приближения) описывается
системой Лоренца [20]:
˙
x
=
−
σ
(
x
−
y
) ;
˙
y
=
−
y
+
rx
−
xz
;
˙
z
=
−
bz
+
xy,
(1)
явившейся первым примером детерминированной системы, демон-
стрирующей как ламинарную, так и турбулентную фазы конвекции
при разных значениях числа Рэлея. В системе уравнений (1) обозначе-
но:
x , y , z
— безразмерные амплитуды мод,
σ
=
ν/κ
— числоПранд-
тля,
ν
,
κ
— коэффициенты кинематической вязкости и теплопровод-
ности;
r
=
R/R
c
— нормированное на критическое число Рэлея, где
R
=
gγh
3
Δ
T/νκ
,
R
c
=
π
4
a
−
2
(1 +
a
2
)
3
,
a
— отношение вертикального
и горизонтального размеров конвективной ячейки,
g
— ускорение сво-
бодного падения,
γ
— коэффициент температурного расширения жид-
кости,
h
— толщина слоя,
Δ
T
— разность температур его поверхностей;
b
— коэффициент, связанный с геометрией конвективной ячейки (рису-
нок,
а
). Стрелками указано взаимосогласованное направление течения
жидкости в конвективных ячейках структурированного слоя. Вывод
уравнений (1) из уравнений гидродинамики приведен в работе [21].
Известно, что уравнения (1) моделируют также и движение жидко-
сти в так называемой конвективной петле (трубке), представляющей
собой тороидальную трубку с жидкостью [21, 22]. Трубка, подогрева-
емая в нижней точке, расположена в вертикальной плоскости и имеет
круговую или эллипсоидную форму (рисунок,
б
). Форма трубки опре-
деляет число
b
(для круговой трубки
b
= 1
). В этом случае безразмер-
ные переменные системы (1) имеют следующий смысл:
x
— скорость
течения,
y
— температура жидкости в средней, а
z
— в нижней точ-
ке трубки (см. рисунок,
б
). Такое совпадение моделей — неформально,
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
51
