10 / 14
Применение быстрого автоматического дифференцирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
51
Анализ полученных результатов показал, что наиболее чувствительными к
изменению испарения оказались влажности в точках, принадлежащих подповерх-
ностному слою почвы толщиной около 20 см. В точках, расположенных на глубине
20 см, абсолютная величина производной влажности по испарению на том же
временном слое иногда оказывалась меньше соответствующей величины на нуле-
вой глубине почти в 5 раз. Как правило, абсолютная величина производной влаж-
ности по испарению на том же временном слое не превышала значения 0,005. На
глубине более либо 50 см, либо 70 см влажность оказывается нечувствительной к
изменению испарения. В силу этого сравнивать вычисленные значения влажности
с предписанными значениями в таких точках не имеет смысла. Таким образом,
чтобы сделать целевую функцию более чувствительной к изменениям испарения,
следует проводить сравнение рассчитанных в рамках модели значений влажности
с предписанными значениями в точках, принадлежащих области, которая нахо-
дится в подповерхностном почвенном слое толщиной 20 см.
Далее расчеты проводили по следующему сценарию. На первом этапе реша-
лась прямая конечно-разностная задача (3) с некоторой интенсивностью испа-
рения
.
true
E t
График среднесуточной интенсивности испарения, соответ-
ствующей
,
true
E t
приведен на рис. 1,
в
.
Система (3) расщепляется на
N
подсистем, каждая из которых относится к
i
-му,
1, , ,
i
N
временному слою и содержит в качестве переменных значения
влажности только на этом временном слое. Двигаясь в направлении от первого
временного слоя к
N
-му временному слою, последовательно для каждого вре-
менного слоя решаем соответствующую систему уравнений отдельно от других.
На каждом временном слое коэффициенты при неизвестных зависят от этих
неизвестных (см. (3)). В связи с этим решение каждой такой системы находят в ре-
зультате выполнения следующего итерационного процесса. На каждой итерации
значения влажности на временном слое определяют в результате решения соответ-
ствующей системы, в которой значения коэффициента диффузии и гидравличе-
ской проводимости вычислены по формулам (2), (4) с использованием значений
влажности, полученных на предыдущей итерации. При известных значениях ко-
эффициента диффузии и гидравлической проводимости система является линей-
ной, а основная матрица системы — трехдиагональной. Система решается методом
прогонки. На первой итерации значения коэффициента диффузии и гидравличе-
ской проводимости рассчитываются с применением значений влажности на
предыдущем временном слое. Итерационный процесс продолжался до тех пор, по-
ка среднеквадратическое отклонение значений влажности, полученных на преды-
дущей итерации, от значений влажности в текущей итерации на всем временном
слое не станет менее
7
1 10 .
При выбранных параметрах задачи для нахождения
решения требовалось, как правило, не более пяти итераций. Полученное решение
0
ˆ , ,
,
,
z t
z t Q
задачи (3) называлось «экспериментальными данными».
На втором этапе решали дискретную задачу оптимального управления, в
которой целевая функция вычисляется по формуле (5) при
0
A A
и
0
.
B B