Применение быстрого автоматического дифференцирования при нахождении испарения с поверхности почвы

6 / 14

Применение быстрого автоматического дифференцирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6 47
           
т , , , .
u u
dW z u u
W z u u z u u p
du
  (7)
Входящий в формулу (7) вектор n p R является множителем Лагранжа и опре-
деляется в результате решения системы линейных уравнений:
       
т , , 0 .
z z n W z u u z u u p   (8)
Линейная система (8) является сопряженной к исходной системе связей (6).
Метод БАД был применен для вычисления производной , n
i  0 , i A 0 , n B
по , k E 0 , k B с целью оценить чувствительность влажности n
i  к малым изме-
нениям испарения . k E Кроме того, поиск численного решения дискретной за-
дачи оптимального управления проводился методом наискорейшего спуска,
при этом градиент целевой функции  , W u рассчитывался по формулам БАД.
Соотношения для вычисления градиента целевой функции  , W u имеют вид
           
т ,
, , ;
u u
dW u u W u u u u p
du

    (9)
       
т , , 0 ,M W u u u u p
      (10)
где   1 ; M I N   т 1 1 1 2 2 2
0 1 0 1 0 1 , , , , , , , , , , , , ; N N N
I I I            
     
т 1 1 1 2 2 2
0 1 0 1 0 1 , , , , , , , , , , , , N N N
I I I            
      (уравнениями связи являются
соотношения (3)). В случае оценивания чувствительности влажности к измене-
нию испарения полагаем в формулах (9), (10) ( , ) , n
i W u   0 , i A 0 , n B а
в случае вычисления градиента целевой функции в указанные формулы под-
ставляем функцию  , W u из (5).
Формулы (9), (10) для вычисления градиента функции ( , ) W u являются
точными. При этом значение градиента находится по указанным формулам в
результате некоторого вычислительного процесса. Возникает вопрос об устой-
чивости этой вычислительной процедуры. Формула (9) содержит операции
сложения и умножения, производные функций ( , ) W u и ( , ),u   а также мно-
житель Лагранжа , p который определяют в результате решения линейной си-
стемы уравнений (10). Учитывая вид соотношений (3), (4), можно сделать вывод
о том, что система уравнений (10) расщепляется на N подсистем уравнений,
каждая из которых соответствует некоторому временному слою. Двигаясь от
N-го слоя к первому, можно решать последовательно каждую такую подсистему
уравнений отдельно от других. Легко заметить, что основные матрицы этих
подсистем уравнений имеют трехдиагональную структуру:
             
1 1 , 0, , . A i x i C i x i B i x i F i i I         (11)