5 / 14
В.В. Дикусар, С.В. Засухин
46
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
1
1
1 2
1 2
1
1
2
;
2
, 1
,
0
.
n n
n n
i
i
i
i
n
n
i
i
n n
n n
i
i
i
i
D D
K K
D
K
n N i I
D D
K K
(4)
Пусть
0
, :
,
,
,
,
Q z t z ih t l i A l B
где
,
A
B
— некоторые множества
такие, что
0
,
A A
0
,
B B
0
{0,1, 2, , },
A
I
0
{1, 2, , }.
B
N
Зададим целевой
функционал вида
2
1
ˆ
,
.
2
n n
j
j
j A n B
W u
h
(5)
Дискретная задача оптимального управления формулируется следующим
образом: найти оптимальное управление
opt
opt
,
1, ,
,
n
u E n
N
opt
0,
,
n
E
G
1, ..., ,
n N
и соответствующее оптимальное решение задачи (3) такие, что
функционал (5) достигал бы минимального значения.
В настоящей работе исследован вопрос о выборе области
0
,
Q
в которой
проводится сравнение значений влажности почвы, полученных в результате
решения задачи (3) при выбранных значениях испарения, и предписанных зна-
чений влажности в соответствующих точках. Для этого оценивают чувствитель-
ность влажности почвы в точках, находящихся на различной глубине, к незна-
чительным изменениям значений испарения. Оценивание выполняют с помо-
щью метода БАД. Изложим кратко суть этого метода.
Необходимость вычисления точного градиента функции, значение которой
находят при выполнении некоторого алгоритма, привела к созданию метода БАД
[5, 6, 9]. Этот метод позволяет находить точные значения производных сложных
функций, переменные которых связаны функциональными связями. В Российской
Федерации метод БАД развивался в процессе разработки и совершенствования ме-
тодов решения конечномерных задач оптимизации, получаемых в результате дис-
кретизации задач оптимального управления [4, 7, 8]. Формулы БАД исследователи
получали различными путями. Приведем наиболее ясный и в то же время общий
способ [7] получения формул БАД для определения производных сложной функ-
ции, основанный на теореме о неявной функции.
Предположим, что для векторов
n
z R
и
r
u R
дифференцируемые
функции
,
W z u
и
,
z u
определяют отображения
1
:
n r
W R R R
и
:
.
n r
n
R R R
Пусть
z
и
u
удовлетворяют системе из
n
скалярных алгебраи-
ческих уравнений:
,
0 ,
n
z u
(6)
где 0
n
— нулевой
n
-мерный вектор. Предположим, что матрица
т
,
z
z u
не-
особенная. Тогда по теореме о неявной функции система связей (6) определяет
непрерывно-дифференцируемую функцию
( ).
z z u
Согласно методу БАД, при
этих предположениях градиент функции
,
W z u u
вычисляют по формуле