4 / 14
Применение быстрого автоматического дифференцирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6
45
ными данными». Зададим цель подобрать интенсивность
0,
,
0,
,
E t
G t
T
так, чтобы соответствующее решение прямой задачи (1) было как можно ближе к
функции
ˆ ,
z t
на множестве
0
.
Q Q
Другими словами, задача заключается в
том, чтобы найти оптимальное управление
opt
0,
,
0,
,
E t
G t
T
и соответ-
ствующее решение
opt
,
z t
прямой задачи, при которых функционал
0
2
opt
1
ˆ
2
Q
J
dzdt
достигал бы минимума.
Перейдем к дискретному аналогу задачи (1). Разобьем интервалы
0,
L
и
0,
T
на
I
и
N
равных подынтервалов с концевыми точками
, 0
,
i
z hi
i I
и
, 0
,
n
t
n n N
где
T N
и
.
h L I
Аппроксимируем прямую задачу (1)
с помощью конечно-разностной схемы:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
0
1
,
0
,
0
,
,
0
,
,
1
,
n
n
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
n
n
i
i
I
D
K D
K
h
h
h
i I
n N
i I
n N
где
,
n
i
1 2
,
n
i
D
1 2
n
i
K
— значения функций
, ,
z t
,
,
D z t
,
K z t
в
точках
,
,
n
i
z t
1 2 ,
,
i
h n
1 2 ,
;
i
h n
i
,
n
— значения функций
,
z
t
в точках
i
z
и .
n
t
Конечно-разностная аппроксимация второго по-
рядка точности левого краевого условия [3] приводит к выражению [1]
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
1 2
1 2
2
,
0
.
n
n
n
n
n
n
n
n
D
K R E
n N
h
h
Здесь
1
,
n
R
1
n
E
— значения функций
R t
и
E t
в точках
1
1 .
n
t
n
В результате получаем дискретный аналог прямой задачи (1):
1
0
0
1
0
1 2
1 2
1 2
2
2
min
max
0
1
1
1 2
1 2
1 2
1 2
2
2
2
1
1 2
1 2
1 2
2
1
2
0,
,
1
;
1
1 1
1
1
0,
1
,
1
,
0,
n
n n
n n
n
n
n n
n
n
n n
n
n
n
n n
i
i
i
i
i
i
i
i
n
i
n
n
i
i
n n n
I
I
D
D
K R E
h
h
h
n N
D
D D
D
h
h
h
K K
i I
n N
h
0
1
,
,
0
,
i
i
n N
i I
(3)
где
0,
, 1
.
n
E G n N
При этом коэффициент диффузии
D
и гидравличе-
скую проводимость
K
в промежуточных точках будем вычислять по формулам