Previous Page  10 / 20 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 10 / 20 Next Page
Page Background

Ю.И. Димитриенко, И.О. Богданов

82

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2016. № 6

 

 

   

 

 

 

 

 

 

т

т

т

т

2

2

2

2

12

12 9

9 12 12 9

9 12 12

т

т

2

2

12 12 9

0

0

9 9

9

9 12 12

9

0

9 9

1

2

2

1

2

,

1

W B

B B

B W

W B

B W

 

 

 

 

 

 

(43)

где

0

0

0

9 9

9 9

т

9 9

1

2

    

 

   

 

   

— симметричная матрица.

Подставляя соотношения (34), (35) и (43) в вариационное уравнение (4) и

преобразуя полученное выражение, с учетом замены

 

0

0

9 9

9 9

(1) ,

    

 

 

запи-

шем искомую СЛАУ для задачи устойчивости

 

 

 

 

12 12 12

12 12 12

.

K W S W

 

(44)

Здесь введены обозначения для следующих симметричных матриц:

      

 

 

 

т

т 0

1

1

2

2

12 12

12 6 6 6 6 12

12 12

12 9

9 12

9 9

1

,

.

2

V

V

K B C B dV S

B

B dV

  

 

   

(45)

Для численного решения задачи (44) на собственные значения был разрабо-

тан программный модуль, реализующий предложенный конечно-элементный

метод в рамках программного комплекса SMCM, разработанного в НОЦ

«СИМПЛЕКС» МГТУ им. Н.Э. Баумана, с использованием CSIR-схемы хране-

ния разряженных матриц и метода бисопряженных градиентов.

Тестовая задача об устойчивости пластины при продольном сжатии.

Для

проверки точности разработанного конечно-элементного метода решения зада-

чи устойчивости была рассмотрена тестовая задача об устойчивости прямо-

угольной пластины при продольном сжатии. Решение этой задачи было выпол-

нено двумя методами:

1) в рамках общей трехмерной теории разработанного конечно-элементного

метода;

2) в рамках одномерной теории устойчивости пластины, рассматриваемой по

модели Тимошенко, при действии на нее продольной сжимающей нагрузки. Зада-

ча устойчивости пластины по модели Тимошенко сводится к нахождению соб-

ственных значений и собственных функций уравнения четвертого порядка [17]

(0)

(0)

4

2

3

3

4

2

1

1

0,

d w d w

dx

dx



1

0

x l

 

(46)

с граничными условиями на торцах пластины

 

 

 

 

(0)

(0)

3

3

(0)

(0)

3

3

1

1

0 0,

0;

0 0,

0.

w

w l

dw

dw l

dx

dx

(47)