12
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
УДК 519.213
DOI: 10.18698/1812-3368-2017-2-12-21
ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ОЦЕНКИ ПОГРЕШНОСТИ ФОРМУЛ
ПРИБЛИЖЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ДЛЯ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Р.С. Исмагилов
1
ismagil@bmstu.ruЛ.Е. Филиппова
2
1
МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Российская Федерация
2
Московский институт электроники и математики им. А.Н. Тихонова, Националь-
ный исследовательский университет «Высшая школа экономики»,
Москва, Российская Федерация
Аннотация
Ключевые слова
Рассмотрена задача приближенного интегрирования
функций многих переменных. Указанные функции
взяты из пространства с гауссовой мерой, по которой
вычислено усредненное значение квадратического
отклонения интеграла от интегральной суммы. Приве-
ден порядок стремления к нулю среднеквадратическо-
го отклонения в зависимости от параметров, задающих
интегральную сумму. Выведены вероятностные оценки
погрешностей приближенного интегрирования
Приближенное интегрирование,
гауссова мера, функция многих
переменных, вероятностные
оценки
Поступила в редакцию 17.10.2016
©МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017
Введение.
Классический пример применения вероятностных методов к вычис-
лительным проблемам — метод Монте-Карло [1]. Созданный в 1950-е годы,
этот метод использовался для решения большого количества задач и, в частно-
сти, для приближенного интегрирования функций. Несколько позднее в этой
области возникло еще одно направление, которое связано с приближенным ин-
тегрированием функции, случайным образом выбранной из данного класса;
предполагается, что в этом классе задана вероятностная мера. Первое исследо-
вание в этом направлении выполнено в работе А.В. Сульдина [2], в которой
изучена задача приближения интеграла
= ( )
b
a
Jf
f x dx
(
f
— непрерывная функ-
ция) интегральной суммой
1
1
=1
= ( )(
).
n
n
k k k
k
S f
f x x x
В указанной работе оцене-
на погрешность
n
Jf S f
для случайно взятой функции
;
f
имеется в виду слу-
чайность относительно меры Винера в пространстве непрерывных функций.
Вычислено среднеквадратичное отклонение
2
M(
)
n
Jf S f
(М — математическое
__________________
1
Это хорошо известный метод прямоугольников для приближенного интегриро-
вания.