5 / 10
Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова
16
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
Понадобятся преобразование Фурье
/2
1
( ) =(2 )
exp( ( , ))( ( ))
n
n
q x
i x y Q y dy
R
(5)
и величина
1
= | ( )| .
n
q
q z dz
R
Основной результат заключается в следующем.
Теорема.
Функционалы
J
и
,
A
h
S
заданные равенствами (3) и (4), ограничены
(по норме
< , >
f
f f
) и, следовательно, продолжаются (по непрерывности) на
пространство
.
L
H
Среднеквадратическая погрешность замены интеграла
Jf
интегральной суммой
A
h
S f
удовлетворяет неравенству
2
0
(
).
n s
h A
Число
не зависит от чисел
, .
A h
В приведенных ниже оценках через
, ,
i
обозначены постоянные вели-
чины.
◄
Рассмотрим обратный оператор
1
1
1
1
0
=( ( / )) ( ( )) ( ( / )) ,
( ),
n
f
L f
Q i
x P x Q i
x f C
R
где
1
( ( / ))
Q i
x
— оператор, задаваемый сверткой
.
f
f q
Следовательно,
оператор
1
L
есть интегральный оператор, задаваемый ядром
( , ) = (
) (
) / ( ) .
n
K x y q z x q z y P z dz
R
(6)
Отметим, что функция
( , )
K x y
называется фундаментальным решением
оператора
.
L
Понадобятся функции
( )
x R x
и
( ),
a
x M x
где
,
,
n
x a
R
вы-
ражаемые формулами
( ) = ( , )) ,
( ) = ( , ).
a
n
R x K x y dy M x K x a
R
Таким образом,
1
( ) = (
) / ( ) ,
( ) = (
) (
) / ( ) .
a
n
n
R x q q z x P z dz M x q z x q z a P z dz
R
R
Их свойства заключены в следующей лемме.
Лемма 1.
Функции
,
a
R M
принадлежат пространству
.
L
H
Справедливы
равенства
=< , >, ( ) = < ,
>,
.
L
a
Jf
f R f a f M f H
Отметим, что из леммы 1 вытекает первое утверждение теоремы (об огра-
ниченности функционалов
J
и
A
h
S
).
◄
Введем оператор
:
( ) ( / ) .
E f
P x Q i
x f
Его замыкание также обозна-
чим через
.
E
Легко заметить, что
= .
L E E
Согласно положениям теории неогра-
ниченных операторов (например, см. [7, глава 4]), справедливо равенство
1/2
((
) ) = ( ).
D E E D E
Поэтому для доказательства первого утверждения леммы 1
достаточно доказать, что функции
,
a
R M
принадлежат множеству
( ).
D E
Непосредственное вычисление действия оператора
E
на эти функции приводит