Previous Page  5 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 10 Next Page
Page Background

Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова

16

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2

Понадобятся преобразование Фурье

/2

1

( ) =(2 )

exp( ( , ))( ( ))

n

n

q x

i x y Q y dy

R

(5)

и величина

1

= | ( )| .

n

q

q z dz

R

Основной результат заключается в следующем.

Теорема.

Функционалы

J

и

,

A

h

S

заданные равенствами (3) и (4), ограничены

(по норме

< , >

f

f f

) и, следовательно, продолжаются (по непрерывности) на

пространство

.

L

H

Среднеквадратическая погрешность замены интеграла

Jf

интегральной суммой

A

h

S f

удовлетворяет неравенству

2

0

(

).

n s

h A

   

Число

не зависит от чисел

, .

A h

В приведенных ниже оценках через

, ,

i

 

обозначены постоянные вели-

чины.

Рассмотрим обратный оператор

1

1

1

1

0

=( ( / )) ( ( )) ( ( / )) ,

( ),

n

f

L f

Q i

x P x Q i

x f C

 

 

R

где

1

( ( / ))

Q i

x

 

— оператор, задаваемый сверткой

.

f

f q

 

Следовательно,

оператор

1

L

есть интегральный оператор, задаваемый ядром

( , ) = (

) (

) / ( ) .

n

K x y q z x q z y P z dz

 

R

(6)

Отметим, что функция

( , )

K x y

называется фундаментальным решением

оператора

.

L

Понадобятся функции

( )

x R x

и

( ),

a

x M x

где

,

,

n

x a

R

вы-

ражаемые формулами

( ) = ( , )) ,

( ) = ( , ).

a

n

R x K x y dy M x K x a

R

Таким образом,

1

( ) = (

) / ( ) ,

( ) = (

) (

) / ( ) .

a

n

n

R x q q z x P z dz M x q z x q z a P z dz

 

R

R

Их свойства заключены в следующей лемме.

Лемма 1.

Функции

,

a

R M

принадлежат пространству

.

L

H

Справедливы

равенства

=< , >, ( ) = < ,

>,

.

L

a

Jf

f R f a f M f H

Отметим, что из леммы 1 вытекает первое утверждение теоремы (об огра-

ниченности функционалов

J

и

A

h

S

).

Введем оператор

:

( ) ( / ) .

E f

P x Q i

x f

 

Его замыкание также обозна-

чим через

.

E

Легко заметить, что

= .

L E E

Согласно положениям теории неогра-

ниченных операторов (например, см. [7, глава 4]), справедливо равенство

1/2

((

) ) = ( ).

D E E D E

Поэтому для доказательства первого утверждения леммы 1

достаточно доказать, что функции

,

a

R M

принадлежат множеству

( ).

D E

Непосредственное вычисление действия оператора

E

на эти функции приводит