6 / 10
Вероятностные оценки погрешности формул приближенного интегрирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
17
к функциям
1
( ), (
)
( );
q P x q x a P x
(здесь использовано то, что
( ( / )) ( ) = ( )).
Q i
x q x x
Указанные функции принадлежат пространству
,
H
так
как функция
1/ ( )
P x
суммируема, а функция
( )
q x
ограничена. Этим доказано пер-
вое утверждение леммы 1. Второе утверждение доказывается непосредственным
вычислением скалярных произведений.
►
Продолжим доказательство теоремы — оценим среднеквадратическую по-
грешность (появляющуюся от замены интеграла интегральной суммой). С уче-
том доказанной леммы 1 и равенства (1), имеем
2
2
0
0
= (
) ( ) =<
,
>=
A
n
n
a
b
h
A
A
I
I
Jf S f
df
R h M R h M
2
( , )
2
( , )
( , ).
A A
n
n
A
n n
n
I I
I
K x y dxdy h K x ha dx h
K ha hb
R R
R
(7)
Осталось оценить правую часть равенства (7). В приведенных ниже форму-
лах точка над функцией обозначает производную вдоль некоторого постоянно-
го векторного поля с длиной вектора, равной единице.
Лемма 2.
Справедливо соотношение
1
| ( , )|
|1 |( , )|
n s
K x y
x y
с некоторой
постоянной
1
.
Здесь
| ( , ) | max{| |,| |}.
x y
x y
(Напомним, что
( ) > (1 | | ) > 0,
s
P x c x
> 3 .
s n)
◄
Примем (для определенности), что
| | | |.
x y
Применив упомянутую опе-
рацию (производную вдоль векторного поля) к функции
( ),
q x
заданной форму-
лой (5), получим, что функция
( )
q x
быстро стремится к нулю при
| |
x
(быст-
рее, чем
| |
l
x
с любым
> 0
l
). Применим эту операцию (для определенности по
переменной
x
) к функции
( , ),
K x y
заданной формулой (6). Полученный интеграл
разобьем на слагаемые — по областям
| |<| | /2
z x
и
| |>| | /2.
z x
В первом интеграле
имеем
|
|>| | /2;
z x x
тем самым, функция
(
)
q z x
и интеграл быстро стремятся к
нулю при
| |
.
x
Во втором интеграле подинтегральная функция не пре-
восходит (по модулю) величины
2
/ ( ),
max | ( )| ,
r P z r
q z
следовательно, и инте-
грал не превосходит по модулю величины
1
| |>| |/2
(1 | |)
(1 | |) .
s
n s
z x
r
z dz r
x
Откуда следует утверждение леммы 2.
►
Лемма 3.
Справедливы соотношения
2
( , )
( , )
;
A A
A A
h h
n
I I
D D
h K a b
K x y dx dy
h
2
( , )
( , )
.
n
n A
h
n
A a I
D
h
K x ha dx
K x y dx dy h
R
R
Число
2
не зависит от чисел
, .
A h