Previous Page  6 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 6 / 10 Next Page
Page Background

Вероятностные оценки погрешности формул приближенного интегрирования…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2

17

к функциям

1

( ), (

)

( );

q P x q x a P x

(здесь использовано то, что

( ( / )) ( ) = ( )).

Q i

x q x x

 

Указанные функции принадлежат пространству

,

H

так

как функция

1/ ( )

P x

суммируема, а функция

( )

q x

ограничена. Этим доказано пер-

вое утверждение леммы 1. Второе утверждение доказывается непосредственным

вычислением скалярных произведений.

Продолжим доказательство теоремы — оценим среднеквадратическую по-

грешность (появляющуюся от замены интеграла интегральной суммой). С уче-

том доказанной леммы 1 и равенства (1), имеем

2

2

0

0

= (

) ( ) =<

,

>=

A

n

n

a

b

h

A

A

I

I

Jf S f

df

R h M R h M

 

2

( , )

2

( , )

( , ).

A A

n

n

A

n n

n

I I

I

K x y dxdy h K x ha dx h

K ha hb

R R

R

(7)

Осталось оценить правую часть равенства (7). В приведенных ниже форму-

лах точка над функцией обозначает производную вдоль некоторого постоянно-

го векторного поля с длиной вектора, равной единице.

Лемма 2.

Справедливо соотношение

1

| ( , )|

|1 |( , )|

n s

K x y

x y

  

с некоторой

постоянной

1

.

Здесь

| ( , ) | max{| |,| |}.

x y

x y

(Напомним, что

( ) > (1 | | ) > 0,

s

P x c x

> 3 .

s n)

Примем (для определенности), что

| | | |.

x y

Применив упомянутую опе-

рацию (производную вдоль векторного поля) к функции

( ),

q x

заданной форму-

лой (5), получим, что функция

( )

q x

быстро стремится к нулю при

| |

x

 

(быст-

рее, чем

| |

l

x

с любым

> 0

l

). Применим эту операцию (для определенности по

переменной

x

) к функции

( , ),

K x y

заданной формулой (6). Полученный интеграл

разобьем на слагаемые — по областям

| |<| | /2

z x

и

| |>| | /2.

z x

В первом интеграле

имеем

|

|>| | /2;

z x x

тем самым, функция

(

)

q z x

и интеграл быстро стремятся к

нулю при

| |

.

x

 

Во втором интеграле подинтегральная функция не пре-

восходит (по модулю) величины

2

/ ( ),

max | ( )| ,

r P z r

q z

следовательно, и инте-

грал не превосходит по модулю величины

1

| |>| |/2

(1 | |)

(1 | |) .

s

n s

z x

r

z dz r

x

 

Откуда следует утверждение леммы 2.

Лемма 3.

Справедливы соотношения

2

( , )

( , )

;

A A

A A

h h

n

I I

D D

h K a b

K x y dx dy

h

 

2

( , )

( , )

.

n

n A

h

n

A a I

D

h

K x ha dx

K x y dx dy h

 

 

R

R

Число

2

не зависит от чисел

, .

A h