Previous Page  7 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 10 Next Page
Page Background

Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова

18

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2

Докажем первое неравенство. Обозначим через

( , )

Q a h

куб

{ :

}.

i

i

i

x a x a h

  

Из леммы 2 следует выполнение неравенства

3

| ( , )|

(1 (| , |) ,

( , ),

( , ).

n s

K x y

a b x Q a h y Q b h

  

Откуда

3

| ( , ) ( , )|

(1 |( , )|)

n s

K x y K ah bh h a b

  

при

( , ),

( , ).

x Q a h y Q b h

Проин-

тегрируем функцию

( , )

K x y

по кубам

( , ),

( , ),

,

,

A

A

x Q a h y Q b h a I b I

 

сло-

жим результаты и учтем неравенство

(1 |( , )|) < .

n s

a b

(Поясним, как полу-

чено это неравенство. Обычное рассуждение показывает, что оно выводится из

аналогичного неравенства для интеграла

(1 |( , )|)

.

n n

n s

x y dx dy

R ×R

Примем

( , ) = .

x y w

Тогда задача сводится к оценке интеграла

2

(1 | |)

.

n s

n

w dw

R

Введем

полярные координаты и сведем интеграл к одномерному интегралу функции

3 1

(1 )

.

n s

r

 

Последний сходится, так как

> 3

s n

). Этим доказано первое утвер-

ждение леммы 3; второе — доказывается аналогично.

Докажем теорему.

Суммы, входящие в правую часть равенства (7), оцениваются посредством

интегралов функции

| ( , ) | .

K x y

Чтобы записать окончательную оценку, также

рассмотрим (наряду с областью

A

h

D

) область

= { , | |> }.

A

h

E x x A

Заменяя в

равенстве (7) суммы интегралами указанного вида, выполняя простые преобра-

зования, получаем интеграл функции

| ( , ) |

K x y

по области

,

A A

h h

E E

а также

слагаемое вида

h

с некоторой постоянной

.

Итак,

2

0

( , )

| ( , )|

.

A A

h h

E E

A h

K x y dx dy h

 

 

Осталось оценить интеграл

| ( , ) |

= | (

) (

) | / ( )

,

A A

A

h h

h

E E

G

K x y dxdy

q z x q z y P z dx dy dz

 

где область

A

h

G

задана условиями

| |> , | |> ,

.

n

x A y A z

R

С этой целью разобьем

последний интеграл на два слагаемых

1

H

и

2

H

— интегралы по подобластям

| |< / 2

z A

и

| |> / 2

z A

. Оценим интеграл

1

H

. Отметим, что в области

интегрирования выполняются неравенства

|

|>| | | |> / 2,

x z x z A

|

|

y z

 

| | | |

/ 2;

y z A

  

поэтому интеграл не уменьшится, если перейти к области

интегрирования, задаваемой неравенствами

{|

|

/ 2, |

| | |< / 2}.

x z A y z z A

 

 

Последний интеграл приводится заменой

= ,

=

x z t y z s

к интегралу функции

| ( ) ( ) | / ( )

q t q s P z

по области

={( , , ) :| |> / 2, | |> / 2, | |< / 2}.

E z t s t A s A z A

Полученный

интеграл распадается на произведение трех интегралов, причем интеграл функции

| ( ) |

q t

по области

| |> / 2

t A

быстро стремится к нулю при

.

A

 