7 / 10
Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова
18
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
◄
Докажем первое неравенство. Обозначим через
( , )
Q a h
куб
{ :
}.
i
i
i
x a x a h
Из леммы 2 следует выполнение неравенства
3
| ( , )|
(1 (| , |) ,
( , ),
( , ).
n s
K x y
a b x Q a h y Q b h
Откуда
3
| ( , ) ( , )|
(1 |( , )|)
n s
K x y K ah bh h a b
при
( , ),
( , ).
x Q a h y Q b h
Проин-
тегрируем функцию
( , )
K x y
по кубам
( , ),
( , ),
,
,
A
A
x Q a h y Q b h a I b I
сло-
жим результаты и учтем неравенство
(1 |( , )|) < .
n s
a b
(Поясним, как полу-
чено это неравенство. Обычное рассуждение показывает, что оно выводится из
аналогичного неравенства для интеграла
(1 |( , )|)
.
n n
n s
x y dx dy
R ×R
Примем
( , ) = .
x y w
Тогда задача сводится к оценке интеграла
2
(1 | |)
.
n s
n
w dw
R
Введем
полярные координаты и сведем интеграл к одномерному интегралу функции
3 1
(1 )
.
n s
r
Последний сходится, так как
> 3
s n
). Этим доказано первое утвер-
ждение леммы 3; второе — доказывается аналогично.
►
Докажем теорему.
Суммы, входящие в правую часть равенства (7), оцениваются посредством
интегралов функции
| ( , ) | .
K x y
Чтобы записать окончательную оценку, также
рассмотрим (наряду с областью
A
h
D
) область
= { , | |> }.
A
h
E x x A
Заменяя в
равенстве (7) суммы интегралами указанного вида, выполняя простые преобра-
зования, получаем интеграл функции
| ( , ) |
K x y
по области
,
A A
h h
E E
а также
слагаемое вида
h
с некоторой постоянной
.
Итак,
2
0
( , )
| ( , )|
.
A A
h h
E E
A h
K x y dx dy h
Осталось оценить интеграл
| ( , ) |
= | (
) (
) | / ( )
,
A A
A
h h
h
E E
G
K x y dxdy
q z x q z y P z dx dy dz
где область
A
h
G
задана условиями
| |> , | |> ,
.
n
x A y A z
R
С этой целью разобьем
последний интеграл на два слагаемых
1
H
и
2
H
— интегралы по подобластям
| |< / 2
z A
и
| |> / 2
z A
. Оценим интеграл
1
H
. Отметим, что в области
интегрирования выполняются неравенства
|
|>| | | |> / 2,
x z x z A
|
|
y z
| | | |
/ 2;
y z A
поэтому интеграл не уменьшится, если перейти к области
интегрирования, задаваемой неравенствами
{|
|
/ 2, |
| | |< / 2}.
x z A y z z A
Последний интеграл приводится заменой
= ,
=
x z t y z s
к интегралу функции
| ( ) ( ) | / ( )
q t q s P z
по области
={( , , ) :| |> / 2, | |> / 2, | |< / 2}.
E z t s t A s A z A
Полученный
интеграл распадается на произведение трех интегралов, причем интеграл функции
| ( ) |
q t
по области
| |> / 2
t A
быстро стремится к нулю при
.
A