4 / 10
Вероятностные оценки погрешности формул приближенного интегрирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
15
Функциональный класс
,
L
H
интеграл и интегральные суммы. Формули-
ровка основного результата.
Используем обозначение
2
= ( ).
n
H L
R
Возьмем
функцию
( ),
,
n
x P x x
R
и многочлен
( ),
.
n
x Q x x
R
Подчиним их следую-
щим ограничениям: ( ) > (1 | | ) > 0, > 3 ,
( ) > > 0,
s
P x c
x
s n Q c
функция
| | / ( ) |
Q
суммируема. Введем оператор
= ( / ) ( ) ( / ) ,
f
Lf Q i
x P x Q i
x f
0
( );
n
f C
R
его
замыкание также обозначим через
.
L
Повторим приведенные выше построения:
рассмотрим в пространстве
0
( )
n
C
R
скалярное произведения
1 2
1 2
< , >=( , ),
f f
Lf f
соответствующее гильбертово пространство
,
L
H
возьмем такой оператор
:
,
T H H
что
1/2
( , )
L T L H H
и, наконец, рассмотрим в пространстве
H
свобод-
ную гауссову меру
,
а в пространстве
L
H
— свободную гауссову меру
0
и меру
1
,
полученную из меры
индуцированием посредством отображения
.
T
Отме-
тим, что
2
< , >= ( ) | ( / ) |
.
n
f f
P x Q x f dx
R
Цель работы
— приближенное интегрирование функций, взятых из про-
странства
L
H
и вероятностная оценка погрешности. Таким образом, речь идет
о приближенном интегрировании функций, удовлетворяющих неравенству
( , )< .
Lf f
Обратимся к интегралам и интегральным суммам. Введем функционал
= ( ) ,
.
n
L
Jf
f x dx f H
R
(3)
Возьмем целое число
> 0,
A
число
> 0
h
и обозначим через
A
h
D
множество
всех векторов
1
= ( , ... ,
), | |
.
n
x x x x hA
Здесь и далее определяем длину вектора
x
равенством
| | max | | .
i
x
x
Множество целочисленных векторов
1
=( , , ),
n
a a a
| |
,
a A
обозначим через
.
A
I
Определим интегральную сумму для функции
f
по формуле
=
( ),
.
A n
L
h
a I A
S f h f ha f H
(4)
Это и есть формула для приближенного интегрирования функции
.
f
Переходим к вероятностной оценке погрешности, получаемой при замене
интеграла
Jf
интегральной суммой
.
A
h
S f
Должны оценить (сверху) среднеквад-
ратическую погрешность
2
2
0
0
= |
|
( ),
A
h
LH
Jf S f
df
рассчитанную по мере
0
.
Откуда, используя неравенство (2), получаем и ана-
логичную погрешность
2
1
,
вычисленную по мере
1
.