3 / 10
Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова
14
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
2
/2
| |
( ) = (2 ) exp
,
= dim .
2
n
B
x
B
dx n S
Назовем
свободной гауссовой мерой, она не является счетно-аддитивной
(но, разумеется, конечно-аддитивна). Справедливо равенство
1
2
1 2
1 2
( , )( , ) ( ) = ( , ),
,
.
H
h u h u du h h h h H
(1)
Возьмем произвольное вещественное счетномерное гильбертово пространство
1
H
и оператор Гильберта — Шмидта
1
:
.
T H H
Напомним, что оператор харак-
теризуется условием
2
|
|
j
j
Te
для любого ортонормированного базиса
{ }
j
e
в про-
странстве
;
H
пространство операторов Гильберта — Шмидта
1
:
T H H
обозна-
чим через
1
( ,
).
L H H
Мера
и отображение
T
порождают индуцированную меру
на
1
H
по формуле
1
( ) = ( ( )).
E T E
Известно (см. [6, глава IV), что она продол-
жается (однозначно) до счетно-аддитивной меры на пространстве
1
.
H
Это и есть
общий способ введения гауссовой (счетно-аддитивной) меры в гильбертовом про-
странстве.
Далее понадобится следующая простая конструкция, связанная с гауссов-
скими мерами. Возьмем то же пространство
H
и самосопряженный оператор
:
L D H
с плотной линейной областью определения
,
D
удовлетворяющий
условию
( , ) ( , )
Lx x c x x
для некоторого
> 0.
c
Имеем в области
D
скалярное
произведение
< , >= ( , ).
x y Lx y
Пополнив область
D
по отношению к норме
1/2
< , > ,
x x
получаем гильбертово пространство
1/2
= ( ).
L
H D L
Возьмем оператор
Гильберта — Шмидта
:
.
L
T H H
Поскольку
,
L
H H
то отображение
T
отождествляется с оператором
:
,
T H H
удовлетворяющим условию
1/2
( , );
L T L H H
полагаем этот оператор самосопряженным.
Введем гауссовы меры. Во-первых, в пространстве
H
введем свободную меру
,
а во-вторых, в пространcтве
L
H
— две гауссовы меры (свободную меру
0
и
меру
1
,
полученную из меры
индуцированием посредством отображения
T
).
Приведем один простой пример усреднения функционала по этим мерам.
Возьмем вектор
( )
h D L
и усредним функционал
2
< , >
y y f
по отношению
к мерам
0 1
, .
Из определения свободной меры следует, что
2
0
< , > ( ) =
y f
dy
1/2 2
< , >= ( , ) =|
| .
f f
Lf f
L f
Далее
2
2
2
2
2
1
< , > ( ) = < , > ( ) = ( , ) ( ) = ( ,
) ( ) =|
| .
L
H
H
H
y f
dy
Tx f
dx LTx f
dx x TLf
dx TLf
Здесь использован тот факт, что
— свободная мера. Примем
1/2
||
||= .
TL c
То-
гда
1/2
|
|
|
| .
TLf
c L f
Откуда получаем неравенство
2
2
2
1
0
< , > ( )
< , > ( ).
H
H
y f
dy c
y f
dy
(2)
Неравенство (2) важно для дальнейшего изучения.