Previous Page  3 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 10 Next Page
Page Background

Р.С. Исмагилов, Л.E. Филиппова

14

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2

2

/2

| |

( ) = (2 ) exp

,

= dim .

2

n

B

x

B

dx n S

Назовем

свободной гауссовой мерой, она не является счетно-аддитивной

(но, разумеется, конечно-аддитивна). Справедливо равенство

1

2

1 2

1 2

( , )( , ) ( ) = ( , ),

,

.

H

h u h u du h h h h H

(1)

Возьмем произвольное вещественное счетномерное гильбертово пространство

1

H

и оператор Гильберта — Шмидта

1

:

.

T H H

Напомним, что оператор харак-

теризуется условием

2

|

|

j

j

Te

для любого ортонормированного базиса

{ }

j

e

в про-

странстве

;

H

пространство операторов Гильберта — Шмидта

1

:

T H H

обозна-

чим через

1

( ,

).

L H H

Мера

и отображение

T

порождают индуцированную меру

на

1

H

по формуле

1

( ) = ( ( )).

E T E

 

Известно (см. [6, глава IV), что она продол-

жается (однозначно) до счетно-аддитивной меры на пространстве

1

.

H

Это и есть

общий способ введения гауссовой (счетно-аддитивной) меры в гильбертовом про-

странстве.

Далее понадобится следующая простая конструкция, связанная с гауссов-

скими мерами. Возьмем то же пространство

H

и самосопряженный оператор

:

L D H

с плотной линейной областью определения

,

D

удовлетворяющий

условию

( , ) ( , )

Lx x c x x

для некоторого

> 0.

c

Имеем в области

D

скалярное

произведение

< , >= ( , ).

x y Lx y

Пополнив область

D

по отношению к норме

1/2

< , > ,

x x

получаем гильбертово пространство

1/2

= ( ).

L

H D L

Возьмем оператор

Гильберта — Шмидта

:

.

L

T H H

Поскольку

,

L

H H

то отображение

T

отождествляется с оператором

:

,

T H H

удовлетворяющим условию

1/2

( , );

L T L H H

полагаем этот оператор самосопряженным.

Введем гауссовы меры. Во-первых, в пространстве

H

введем свободную меру

,

а во-вторых, в пространcтве

L

H

— две гауссовы меры (свободную меру

0

и

меру

1

,

полученную из меры

индуцированием посредством отображения

T

).

Приведем один простой пример усреднения функционала по этим мерам.

Возьмем вектор

( )

h D L

и усредним функционал

2

< , >

y y f

по отношению

к мерам

0 1

, .

 

Из определения свободной меры следует, что

2

0

< , > ( ) =

y f

dy

1/2 2

< , >= ( , ) =|

| .

f f

Lf f

L f

Далее

2

2

2

2

2

1

< , > ( ) = < , > ( ) = ( , ) ( ) = ( ,

) ( ) =|

| .

L

H

H

H

y f

dy

Tx f

dx LTx f

dx x TLf

dx TLf

Здесь использован тот факт, что

— свободная мера. Примем

1/2

||

||= .

TL c

То-

гда

1/2

|

|

|

| .

TLf

c L f

Откуда получаем неравенство

2

2

2

1

0

< , > ( )

< , > ( ).

H

H

y f

dy c

y f

dy

(2)

Неравенство (2) важно для дальнейшего изучения.