2 / 10
Вероятностные оценки погрешности формул приближенного интегрирования…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 2
13
ожидание). В частности, доказано, что при фиксированном
n
это отклонение
минимально при равноотстоящем наборе узлов.
Впоследствии вероятностные оценки погрешности были рассмотрены и для
других приближенных методов. Обзору таких работ и дальнейшему развитию
тематики посвящена работа С. Смейла [3], в которой изучено пространство Со-
болева
1
H
на отрезке
[0,1];
это есть гильбертово пространство функций со ска-
лярным произведением
[0,1]
( , ) = (0) (0)
( ) ( ) .
f g f
g
f x g x dx
В этом пространстве
введена гауссова мера. В качестве приближенного значения интеграла взята ин-
тегральная сумма
1
=1
=
( / ).
n
n
k
S f n f k n
Вычислена усредненная погрешность
M(|
|).
n
Jf S f
Аналогичный результат получен и для других приближенных
методов интегрирования; это позволяет сравнить методы интегрирования по их
эффективности.
Различные применения вероятностных методов к вычислительным про-
блемам приведены в работе Ф.М. Ларкина
2
[4]. В предлагаемой работе изучена
задача приближенного интегрирования (и вероятностной оценки погрешности)
для функций многих переменных. Таким образом, здесь рассмотрим простран-
ства гладких функций, заданных на множестве
.
n
R
В эти пространства введена
гауссова мера (способы введения такой меры изложены далее), и рассмотрены
интегральные суммы
,
A
h
S
составляемые по некоторому конечному множеству
из множества
,
n
R
определяемому натуральным числом
A
и числом
> 0.
h
Вы-
числено среднеквадратичное отклонение (по указанной мере) интегральной
суммы от интеграла. Указан порядок (при
,
0)
A h
этой величины (как
функции параметров
,
A h
данного множества).
Интегральная сумма определяется набором узлов (в сумму входят значения
функции в них) и весовых коэффициентов при этих значениях. В настоящей
работе авторы не касаются вопроса о выборе оптимального (или близкого к оп-
тимальному) набора узлов и коэффициентов; этот вопрос представляется весь-
ма сложным.
Гауссова мера в гильбертовом пространстве.
Пусть
H
— вещественное
счетномерное гильбертово пространство. Способы введения гауссовой меры в
пространстве
H
описаны во многих источниках. Выберем одно из достаточно
простых изложений (см. [5, глава II, 6, глава IV]).
Пусть
S
— конечномерное подпространство в пространствах
H
и
:
P H S
— ортогональный проектор. Каждому борелевскому множеству
B S
поставим в соответствие множество
1
= ( );
B P B
такие множества (их
называют цилиндрическими) образуют алгебру
.
M
Зададим меру
на алгебре
M
формулой
__________________
2
В работах [3] и [4] не упоминается работа А.В. Сульдина.