аттракторы, остается линейным. Поэтому все локальные хаотические
аттракторы являются практически точными копиями аттрактора ис-
ходной динамической системы. При сглаживании редуплицирующей
функции вблизи границ ячеек фазового пространства появляются зоны
сильной нелинейности, причем границы перехода фазовых траекторий
из одной ячейки в другую располагаются внутри этих зон. В резуль-
тате периферийные области всех локальных аттракторов оказываются
расположенными в зонах существенной нелинейности по переменной
редупликации (в данном случае по
у
), что изменяет динамику исход-
ной системы и, соответственно, параметры аттракторов внутри ячеек,
в частности их протяженность по данной переменной.
Вследствие этого появляется зависимость максимального значе-
ния константы
h
(она задает необходимый размер ячеек фазового про-
странства по переменной редупликации) от степени сглаживания реду-
плицирующей функции (рис. 4,
в
). Эта зависимость наиболее заметна
при использовании аппроксимирующего выражения на основе сте-
пенной функции и минимальна в случае сглаживания оператора
Н
(
у
)
выражением на основе функции ошибок, что объясняется различной
протяженностью зон сильной нелинейности в окрестностях границ
ячеек фазового пространства. Для функции ошибок она минимальна,
для степенной функции — наиболее велика (см. рис. 1,
в
).
Из рис. 4,
в
следует, что даже при весьма существенном сглажи-
вании редуплицирующей функции, соответствующем
Δ
max
/h
= 0
,
1
,
относительное увеличение размеров ячеек фазового пространства со-
ставляет около 0,5 % для степенной функции, а для показательной
функции и функции ошибок оно менее 0,1%. Изменение конфигу-
рации области существования хаотических колебаний аналогично ее
изменению при сглаживании функции
S
(
x
)
. Относительное смещение
границ этой области имеет порядок
Δ
h/h
. Структура мультиаттрак-
тора полностью сохраняется. Из рис. 4,
в
также следует, что объеди-
ненный хаотический мультиаттрактор, соответствующий уравнениям
(9), (10), сохраняет устойчивость при очень сильном сглаживании ре-
дуплицирующей функции (по крайней мере до
Δ
max
/h
= 0
,
35)
, когда
относительное увеличение размеров ячеек фазового пространства, со-
держащих локальные аттракторы, превышает 10%.
Заключение.
Выражения (3)–(8) при подстановке в уравнения
кусочно-линейных функций (1), (2), (7) позволяют осуществлять плав-
ный переход к их гладким аналогам. Степень сглаживания можно
точно задавать выбором значения коэффициента
n
. Эти свойства ап-
проксимирующих выражений (3)–(8) дают возможность исследовать
изменение характеристик различных динамических систем при посте-
пенном переходе от кусочно-линейных аппроксимаций нелинейных
членов уравнений к гладким.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
103
