Использование этих сглаживающих функций позволяет исследо-
вать изменение хаотических колебаний при переходе от исходной мно-
госегментной кусочно-линейной функции к ее гладкому аналогу.
Изменение свойств движения при постепенном переходе от
кусочно-линейного представления нелинейной функции к ее сгла-
женномуаналогу.
Проанализируем данные изменения на примере
уравнений, описывающих динамику схемы Чуа и ее динамического
аналога с многосегментной нелинейностью [20]:
dx
dτ
=
A
[
y
−
x
−
S
(
x
)] ;
dy
dτ
=
x
−
y
+
z
;
dz
dτ
=
−
By.
(9)
На рис. 2 показаны примеры временн´ой зависимости переменной
х
и проекции хаотического аттрактора на плоскость
(
x, y
)
в случае
кусочно-линейной функции
S
(
x
)
(1) при
M
=
N
= 2
и ее аппрокcи-
мации выражением (3) при
n
= 1
(рис. 2,
в
). Хорошо видно, что даже
при таком значительном “скруглениии углов” колебания и аттрактор
внешне изменились мало.
Это впечатление подтверждает качественно рис. 3, на котором по-
казано изменение области существования хаотического аттрактора, от-
вечающего многосегментной функции
S
(
x
)
в целом, (заштрихована)
в плоскости
B
= 100
/
7
,
a
=
−
8
/
7
,
b
=
−
5
/
7
. Видно, что переход от
кусочно-линейного представления функции
S
(
x
)
к аппроксимирую-
щей ее гладкой функции не сопровождается никакими качественными
изменениями структуры этой области и состоит лишь в постепен-
ном однонаправленном смещении ее границ по мере увеличения
Δ
max
(рис. 2,
в
). Причем пока
Δ
max
мал´о (меньше 0,1), это смещение оста-
ется весьма незначительным. Только при увеличении
Δ
max
до 0,35
наблюдается слияние верхней границы области существования хаоти-
ческого аттрактора с верхней границей ближайшего к ней широкого
периодического окна. Однако дальнейшее увеличение
Δ
max
вплоть до
0,53 не приводит к каким-либо новым изменениям структуры данной
области.
Отсутствие качественных изменений параметров движения при пе-
реходе к гладкой нелинейной функции подтверждается также иден-
тичностью структуры частотных спектров колебаний системы (9) при
Δ
max
= 0
и
Δ
max
≈
0
,
53
. Основными различиями спектров является
ослабление дискретных составляющих в случае гладкой нелинейности
по сравнению с кусочно-линейной, что обусловлено главным образом
снижением мощности колебаний вследствие уменьшения их размаха
98
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
