Степень сглаженности исходной кусочно-линейной зависимости в
выражениях (6)–(8) также определяется значением коэффициента
n
.
Приведенные гладкие функции, аппроксимирующие кусочно-
линейные функции
P
(
x
)
и
P b
(
x
)
,
P c
(
x
)
, определены на интервале
[
−∞
; +
∞
] и всюду дифференцируемы на этом интервале. Всюду
дифференцируемыми являются также первая и все старшие производ-
ные этих функций [25].
Особенности сглаживания описывает разность исходной и сгла-
женной зависимостей
Δ(
x
) =
P
(
x
)
−
Y
(
x
)
. Максимальное значе-
ние этой функции характеризует степень сглаживания. Симметрич-
ные функции
P
(
x
)
и
Y
(
x
)
максимально расходятся при
х
=
±
х
0
,
откуда
Δ
max
=
P
(
x
0
)
−
Y
(
x
0
)
. Наибольшее расхождение асимметрич-
ных функций
P b
(
x
)
и
Y b
(
x
)
, а также
P
с
(
x
)
и
Y
с
(
x
)
, имеет место при
х
= 0
, поэтому
Δ
b
max
=
P b
(0)
−
Y b
(0)
,
Δ
c
max
=
P c
(0)
−
Y c
(0)
.
Преимуществом сглаживающих выражений (3) и (6) на основе по-
казательной функции является возможность непрерывного изменения
коэффициента
n
на всей шкале рациональных чисел и инвариантность
по отношению к знаку коэффициента
n
, а недостатком — незначитель-
ное изменение функции
Y
(
x
)
в интервале значений
n
от
1
до
0
, что не
позволяет для функции
P
(
x
)
получить
Δ
max
больше, чем
≈
0
,
24
.
Главным недостатком компактных выражений (4), (5), (7) и (8)
на основе степенной функции и функции ошибок является то, что
в них коэффициент
n
может принимать лишь целые положительные
значения. Однако при замене
x
ξ
на
g
(
x, ξ
) =
⎧⎨
⎩
x
ξ
, x >
0
,
(
−
x
)
ξ
, x <
0
,
0
, x
= 0
,
они допускают непрерывное изменение положительных
n
и позволяют
сглаживать функции
P
(
x
)
,
P b
(
x
)
,
P c
(
x
)
вплоть до их вырождения в
прямую (при
n
→
0
).
Различия в характере сглаживания кусочно-линейных функций вы-
ражениями (3)–(5) хорошо видны на рис. 1,
в
, где показан ход зависи-
мости
Δ(
х
)
в окрестности стыка линейных сегментов функции
Р
(
х
)
при сильном сглаживании (
Δ
max
= 0
,
225
,
n
≈
1
). На рис. 1,
в
видно,
что лучше всего “сглаживает углы” аппроксимирующее выражение на
основе функции ошибок: соответствующая ему зависимость
Δ(
х
)
бы-
стрее всего убывает при удалении от границы сегментов. От него не-
значительно отличается выражение на основе показательной функции
1
. Наиболее широкую окрестность границы сегментов существенно
изменяет аппроксимирующее выражение на основе степенной функ-
ции
2
.
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
97
