тракторов, рассмотрим данный вопрос на примере автономных ав-
тостохастических динамических систем с многосегментной нелиней-
ностью [20–24].
Аппроксимация кусочно-линейных зависимостей гладкими
функциями.
Математическое описание кусочно-линейных много-
сегментных функций и их сглаженных аналогов может быть самым
разным. Однако поскольку интерес представляют не сами функции,
а их приложение к исследованию динамических систем, рассмотрим
наиболее компактные способы представления однозначных функций
такого типа.
Для описания регулярной многосегментной функции удобно ис-
пользовать выражение [20, 21]
S
(
x
) =
bx
+
a
−
b
2
×
× −
P
(
x
) +
M
m
=1
[
P
(
x
+
mc
)
−
1] +
N
n
=1
[
P
(
x
−
nc
) + 1]
,
(1)
где
a
и
b
— коэффициенты, определяющие наклон линейных сегментов
функции,
a
— наклон среднего, проходящего через начало координат,
сегмента и всех параллельных ему сегментов,
b
— наклон остальных
сегментов;
c
= 2
a
−
b
1
−
b
;
P
(
x
) =
|
x
+ 1
| − |
x
−
1
|
2
(рис. 1,
а
).
Кусочно-линейную функцию общего вида с произвольно располо-
женными линейными сегментами, имеющими неодинаковый наклон
(рис. 1,
б
), можно представить компактным выражением
f
(
x
) =
ax
+
M
k
=1
(
b
k
−
b
k
−
1
)
P b
(
x
−
δ
k
)+
+
N
k
=1
(
c
k
−
c
k
−
1
)
P c
(
x
−
γ
k
)
,
(2)
где
a
,
b
k
и
c
k
— коэффициенты, определяющие наклон среднего,
проходящего через начало координат, и боковых сегментов, причем
b
0
=
c
0
=
a
;
δ
k
и
γ
k
— коэффициенты, задающие положение границ
между сегментами функции
f
(
x
)
;
P b
(
x
) =
x
+
|
x
|
2
;
P c
(
x
) =
x
− |
x
|
2
(см. рис. 1,
а
).
Функции (1) и (2) представляют собой суперпозицию одинаковых
элементарных нелинейностей, суммируемых с разными весами. По-
этому для построения гладких аналогов данных функций достаточно
заменить в выражениях (1), (2) кусочно-линейные зависимости
P
(
x
)
,
P b
(
x
)
,
P c
(
x
)
аппроксимирующими их гладкими кривыми.
94
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2012. № 1
