8 / 15
Д.Н. Попов, Н.Г. Сосновский, М.В. Сиухин
44
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
При всей общности второго (прямого) метода Ляпунова его использование в
технических приложениях часто затрудняет то, что не существует универсаль-
ного способа для определения функции (5). Кроме того, при неудачно выбран-
ной функции (5) нельзя установить, устойчива или нет система. Это обстоятель-
ство следует учитывать при сравнении результатов аналитических и экспери-
ментальных исследований.
Дополнительные трудности могут быть вызваны предусмотренным проектом
изменением параметров системы в зависимости от времени или самопроизволь-
ной сменой характеристик отдельных устройств, входящих в систему. Например,
при нестационарном истечении рабочей жидкости через прикрытые заслонкой
сопла в некоторых случаях возникают автоколебания в первой ступени ЭГУ. Во
второй ступени ЭГУ автоколебания могут иметь место вследствие нестационар-
ности гидродинамических сил, действующих на золотник [11, 13, 14]. Общий под-
ход к исследованию устойчивости этих систем также рассмотрен ниже с помо-
щью второго (прямого) метода Ляпунова. Для этого уравнения динамики заслон-
ки и золотника при отсутствии внешних воздействий и без учета сжимаемости
рабочей жидкости записывают в виде
=
1
2
;
dx x
dt
(7)
= −
−
2
1
2
1
,
( )
dx
x b x
dt
a t
(8)
где
1
,
x
2
x
— перемещение и скорость движения детали (заслонки или золот-
ника);
1/ ( )
a t
— приведенное к единице массы детали суммарное значение коэф-
фициентов сил, зависящих от положения детали;
b
— отнесенный к единице мас-
сы детали коэффициент жидкостного трения, действующего на деталь.
Вследствие нестационарности исследуемых систем функция (5) должна быть
представлена в виде
т
( ) ,
t
=
V x R x
(9)
где
( )
t
R
— матрица, элементы которой являются функциями времени,
2 1
( )
( )
.
2
1
b
b a t
t
b
+
=
R
(10)
Матрица (10) будет положительно определенной, когда
2
1
( )
2
a t
b
> −
и
2
( )
.
4
b
a t
> −
Производная функции (9) по времени с помощью (7), (8) и (10) определяется
как