Previous Page  7 / 15 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 7 / 15 Next Page
Page Background

Управление синергетическими процессами…

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3

43

В этом случае функционал (2) можно записать в виде

2

0

( )

,

J

Q u dt

=

+

x

где

( )

Q

x

— положительно определенная функция.

Функция

2

( , ) ( )

L

Q u

= +

x u x

также является положительно определенной, ее

можно представить как градиент энергии управляемой системы:

( , )

.

dE

L

dt

= −

x u

(3)

После интегрирования (3) получается равенство

0

( ) (0)

( , ) ,

E E

L u dt

∞ − = −

x

в котором

( ) 0

E

∞ =

при асимптотически устойчивой системе, отсюда

0

(0)

( , )

.

E L u dt J

=

=

x

(4)

Согласно (4), функционал, который служит критерием оптимальности

управления системой, равен энергии системы при

0

,

=

x x

достигающей в этом

состоянии минимума.

Функция Ляпунова, как и энергия системы, зависит от переменных состоя-

ния системы. При исследовании устойчивости стационарных нелинейных си-

стем такую функцию записывают в форме

т

.

=

V x Rx

(5)

Здесь индекс «т» указывает на транспонирование вектора переменных состоя-

ния;

R

— симметричная матрица,

=

11 12

1

21 22

2

1

2

...

...

,

...

... ... ...

...

n

n

n n

nn

r r

r

r r

r

r r

r

R

.

ki

ik

r r

=

(6)

Элементы матрицы (6) должны быть подобраны так, чтобы функция (5),

имея минимальное значение при

0

,

=

x x

была положительной при

0

.

x x

То-

гда по второму (прямому) методу Ляпунова нелинейная система будет асимпто-

тически устойчива в малом, если

/

d dt

V

— отрицательно определенная функ-

ция в рассматриваемой области пространства состояний. Если эти условия вы-

полняются для всего пространства состояний, то система асимптотически

устойчива в целом.