7 / 15
Управление синергетическими процессами…
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 3
43
В этом случае функционал (2) можно записать в виде
2
0
( )
,
J
Q u dt
∞
=
+
x
где
( )
Q
x
— положительно определенная функция.
Функция
2
( , ) ( )
L
Q u
= +
x u x
также является положительно определенной, ее
можно представить как градиент энергии управляемой системы:
( , )
.
dE
L
dt
= −
x u
(3)
После интегрирования (3) получается равенство
0
( ) (0)
( , ) ,
E E
L u dt
∞
∞ − = −
x
в котором
( ) 0
E
∞ =
при асимптотически устойчивой системе, отсюда
0
(0)
( , )
.
E L u dt J
∞
=
=
x
(4)
Согласно (4), функционал, который служит критерием оптимальности
управления системой, равен энергии системы при
0
,
=
x x
достигающей в этом
состоянии минимума.
Функция Ляпунова, как и энергия системы, зависит от переменных состоя-
ния системы. При исследовании устойчивости стационарных нелинейных си-
стем такую функцию записывают в форме
т
.
=
V x Rx
(5)
Здесь индекс «т» указывает на транспонирование вектора переменных состоя-
ния;
R
— симметричная матрица,
=
11 12
1
21 22
2
1
2
...
...
,
...
... ... ...
...
n
n
n n
nn
r r
r
r r
r
r r
r
R
.
ki
ik
r r
=
(6)
Элементы матрицы (6) должны быть подобраны так, чтобы функция (5),
имея минимальное значение при
0
,
=
x x
была положительной при
0
.
≠
x x
То-
гда по второму (прямому) методу Ляпунова нелинейная система будет асимпто-
тически устойчива в малом, если
/
d dt
V
— отрицательно определенная функ-
ция в рассматриваемой области пространства состояний. Если эти условия вы-
полняются для всего пространства состояний, то система асимптотически
устойчива в целом.