Previous Page  3 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 3 / 10 Next Page
Page Background

Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5

59

 

1

,

;

exp

,

.

L

L

k k

k k

k l

k l

h

G t

i

G t

W

   

 

(11)

При нахождении интеграла в выражении (9) необходимо учитывать условие

,

0.

k

k

t

G t



 

(12)

Формулы (2)–(4) являются частными случаями выражений (9)–(11) при

1.

L

Если процесс

 

W t

является винеровским, то

  

  

min ,

1

1

В

,

1

0

1

, ...,

; , ...,

exp

,

,

,

2

l k

t t

L

L

L

L

l k

l

k

l k

g

t

t

G t

G t

d

 

   

   

 

(13)

а если — пуассоновским, то

 

1

1

1

П

1

, ...,

; , ...,

exp

,

1

.

l

l

t L

L

L

L

L

k

k

l

k l

t

g

t

t

g

G t

d

 

    

  

(14)

Проведем разработку метода нахождения характеристических функций

немарковского случайного процесса

 

Z t

в случае, если для его описания тре-

буется использование системы линейных интегральных уравнений:

 

   

1

0

,

;

t

Z t

G t

X d

  

(15)

 

 

 

2

0

,

,

X G dW

   

(16)

где

 

1

, ,

G t

 

2

,

G

 

— непрерывные функции переменных

и

.

Здесь так

же, как и для интеграла (1), полагается, что интегралы (15) и (16) представляют

собой интегралы Ито.

К системе линейных интегральных уравнений (15), (16) может быть сведена

задача описания броуновского движения при воздействии на частицу случайно-

го процесса, не являющегося процессом с независимыми приращениями. В этом

случае броуновское движение описывается уравнением следующего вида:

 

 

 

.

dZ t

Z t X t

dt

 

(17)

Здесь

— коэффициент вязкого трения;

 

X t

— случайный процесс, который

может быть получен из процесса с независимыми приращениями

 

W t

с по-

мощью интегрального уравнения (16). Если решение уравнения (17) предста-

вить в интегральной форме (15) с ядром

 

1

,

exp

,

G t

t

    

(18)