Previous Page  4 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 4 / 10 Next Page
Page Background

А.Н. Морозов

60

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5

то рассматриваемая задача описания броуновского движения сведется к реше-

нию системы линейных интегральных уравнений (15), (16).

Для нахождения характеристических функций процесса

 

Z t

проведем сле-

дующее преобразование системы линейных интегральных уравнений (15), (16):

 

 

 

 

    

 

   

 

1

2

0

0

1

2

0 0

1

2

0

,

,

1

,

,

,

,

,

t

t t

t t

Z t

G t

G dW d

G t G dW d

G t G d dW

 

  

   

  

  

   

 

 

где

1

  

— единичная функция.

Следовательно, систему уравнений (15), (16) можно свести к линейному ин-

тегральному уравнению (1), в которое необходимо подставлять ядро преобразо-

вания

 

,

G t

в виде

 

   

1

2

,

,

,

.

t

G t

G t G d

 

   

Таким образом, при нахождении характеристических функций процесса

 

,

Z t

описываемого системой линейных интегральных уравнений (15), (16), могут

быть использованы выражения (2)–(4) (для частных случаев винеровского и

пуассоновского процессов — (6) и (8)) и (9)–(11) (для частных случаев указан-

ных процессов — (13) и (14)).

Предложенный метод позволяет рассчитать характеристические функции

процесса

 

,

Z t

описываемого системой линейных интегральных уравнений,

состоящей из любого количества таких уравнений. Например, в случае системы

из трех линейных интегральных уравнений

 

   

1

0

,

;

t

Z t

G t

X d

  

 

   

2

0

,

;

X G Y d

     

 

 

 

3

0

,

,

Y

G dW

   

где

 

1

, ,

G t

 

2

,

,

G

 

 

3

,

G

 

— непрерывные функции переменных

,

и

;

она сводится к линейному интегральному уравнению (1), ядро преобразова-

ния

 

,

G t

которого имеет вид

 

 

   

1

2

3

,

,

,

,

.

t

G t

G t

G G d d

 

     