А.Н. Морозов
60
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
то рассматриваемая задача описания броуновского движения сведется к реше-
нию системы линейных интегральных уравнений (15), (16).
Для нахождения характеристических функций процесса
Z t
проведем сле-
дующее преобразование системы линейных интегральных уравнений (15), (16):
1
2
0
0
1
2
0 0
1
2
0
,
,
1
,
,
,
,
,
t
t t
t t
Z t
G t
G dW d
G t G dW d
G t G d dW
где
1
— единичная функция.
Следовательно, систему уравнений (15), (16) можно свести к линейному ин-
тегральному уравнению (1), в которое необходимо подставлять ядро преобразо-
вания
,
G t
в виде
1
2
,
,
,
.
t
G t
G t G d
Таким образом, при нахождении характеристических функций процесса
,
Z t
описываемого системой линейных интегральных уравнений (15), (16), могут
быть использованы выражения (2)–(4) (для частных случаев винеровского и
пуассоновского процессов — (6) и (8)) и (9)–(11) (для частных случаев указан-
ных процессов — (13) и (14)).
Предложенный метод позволяет рассчитать характеристические функции
процесса
,
Z t
описываемого системой линейных интегральных уравнений,
состоящей из любого количества таких уравнений. Например, в случае системы
из трех линейных интегральных уравнений
1
0
,
;
t
Z t
G t
X d
2
0
,
;
X G Y d
3
0
,
,
Y
G dW
где
1
, ,
G t
2
,
,
G
3
,
G
— непрерывные функции переменных
,
и
;
она сводится к линейному интегральному уравнению (1), ядро преобразова-
ния
,
G t
которого имеет вид
1
2
3
,
,
,
,
.
t
G t
G t
G G d d