Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5
61
Аналогично можно найти ядро преобразования
,
G t
для системы из
N
линейных интегральных уравнений.
Рассмотрим применение полученных выражений для нахождения характе-
ристических функций флуктуаций импульса броуновской частицы в равновес-
ной и неравновесной средах.
1. Пусть
Z t
описывает импульс броуновской частицы в равновесной
среде при воздействии на нее случайного
-коррелированного процесса. Тогда
его интенсивность
В
можно представить как [5]
В
2
,
mkT
(19)
где
m
— масса броуновской частицы;
k
— постоянная Больцмана;
T
— темпе-
ратура среды, а ядра преобразований
1
,
G t
и
2
,
G
имеют соответственно
вид (18) и
2
,
.
G
В этом случае формула для
,
G t
принимает вид
,
exp
exp
.
t
G t
t
d
t
(20)
Подстановка выражений (19) и (20) в формулу (13) дает формулу для
L
-мерной
характеристической функции
1
1
, ...,
; , ...,
L
L
L
g
t
t
процесса
Z t
при воздей-
ствии на броуновскую частицу винеровского процесса
1
1
, ...,
; , ...,
L
L
L
g
t
t
,
1
exp
exp
exp
.
2
L
l k
l
k
l
k
l k
mkT
t t
t t
(21)
Аналогичное выражение при воздействии пуассоновского процесса (см. (14))
имеет вид
1
1
, ...,
; , ...,
L
L
L
g
t
t
1
1
exp 2
exp
1 .
l
l
t L
L
k
k
l
k l
t
mkT g
t
d
(22)
При
1
L
получаем выражения для одномерных характеристических функ-
ций в случае воздействия винеровского и пуассоновского процессов:
2
1
;
exp
1 exp 2 ;
2
mkT
g t
t
(23)
1
0
;
exp 2
exp
1 .
t
g t
mkT g
t
d
(24)