Previous Page  5 / 10 Next Page
Information
Show Menu
Previous Page 5 / 10 Next Page
Page Background

Метод описания немарковских процессов, задаваемых системой линейных интегральных уравнений

ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2017. № 5

61

Аналогично можно найти ядро преобразования

 

,

G t

для системы из

N

линейных интегральных уравнений.

Рассмотрим применение полученных выражений для нахождения характе-

ристических функций флуктуаций импульса броуновской частицы в равновес-

ной и неравновесной средах.

1. Пусть

 

Z t

описывает импульс броуновской частицы в равновесной

среде при воздействии на нее случайного

-коррелированного процесса. Тогда

его интенсивность

В

можно представить как [5]

В

2

,

mkT

  

(19)

где

m

— масса броуновской частицы;

k

— постоянная Больцмана;

T

— темпе-

ратура среды, а ядра преобразований

 

1

,

G t

и

 

2

,

G

 

имеют соответственно

вид (18) и

  

2

,

.

G

     

В этом случае формула для

 

,

G t

принимает вид

 

,

exp

exp

.

t

G t

t

d

t

 

           

(20)

Подстановка выражений (19) и (20) в формулу (13) дает формулу для

L

-мерной

характеристической функции

1

1

, ...,

; , ...,

L

L

L

g

t

t

 

процесса

 

Z t

при воздей-

ствии на броуновскую частицу винеровского процесса

1

1

, ...,

; , ...,

L

L

L

g

t

t

 

,

1

exp

exp

exp

.

2

L

l k

l

k

l

k

l k

mkT

t t

t t

 

 

    

(21)

Аналогичное выражение при воздействии пуассоновского процесса (см. (14))

имеет вид

1

1

, ...,

; , ...,

L

L

L

g

t

t

 

1

1

exp 2

exp

1 .

l

l

t L

L

k

k

l

k l

t

mkT g

t

d

 

     

  

(22)

При

1

L

получаем выражения для одномерных характеристических функ-

ций в случае воздействия винеровского и пуассоновского процессов:

 

2

1

;

exp

1 exp 2 ;

2

mkT

g t

t

      

(23)

 

1

0

;

exp 2

exp

1 .

t

g t

mkT g

t

d

 

     

(24)