Основные теоретические положения о преобразовании к квазика-
ноническому виду в некоторой открытой области аффинных систем
со скалярным управлением приведены в работе [5], а с векторным
управлением — в [6].
Представляет интерес получение различных локальных условий
существования требуемых преобразований, а также условий, при вы-
полнении которых квазиканонический вид имеет специальные свой-
ства.
Проверка условий, при выполнении которых аффинная система
преобразуется к квазиканоническому виду, нахождение соответствую-
щей замены переменных, если она существует, а также запись систе-
мы в новых переменных требуют выполнения значительных объемов
аналитических вычислений.
Компьютерную алгебру начали применять для решения задач не-
линейной теории управления в 1990-х гг. [7]. В настоящее время
существуют пакеты программ, предназначенные для решения задачи
стабилизации положения равновесия путем преобразования к канони-
ческому виду [8]. Однако актуальными остаются разработка алгорит-
ма и создание пакета программ, позволяющих в автоматическом или
полуавтоматическом режимах проверить условия существования и
выполнить преобразование аффинной системы к квазиканическому
виду.
В рамках проводимого исследования использованы системы Maple
и MATLAB, выбор которых обусловлен распространенностью систе-
мы MATLAB и обширными возможностями Maple для проведения
символьных вычислений.
Квазиканонический вид аффинной системы.
Рассмотрим аф-
финную систему со скалярным управлением
˙
x
=
A
(
x
) +
B
(
x
)
u,
(1)
где
x
2
R
n
;
u
2
R
1
;
A
(
x
) = (
a
1
(
x
)
, . . . , a
n
(
x
))
т
,
A
(0) = 0
;
B
(
x
) =
= (
b
1
(
x
)
, . . . , b
n
(
x
))
т
;
a
i
(
x
)
,
b
i
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
;
Ω
— открытое множество,
содержащее положение равновесия
x
= 0
.
Пусть система (1) в области
Ω
преобразуется к виду
˙
z
1
=
z
2
, . . . ,
˙
z
r
−
1
=
z
r
,
˙
z
r
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
=
q
(
z, η
) +
p
(
z, η
)
u,
(2)
где
z
= (
z
1
, . . . , z
r
)
т
,
z
2
R
r
;
η
= (
η
1
, . . . , η
n
−
r
)
т
,
η
2
R
n
−
r
;
q
(
z, η
) =
= (
q
1
(
z, η
)
, . . . , q
n
−
r
(
z, η
))
т
;
p
(
z, η
) = (
p
1
(
z, η
)
, . . . , p
n
−
r
(
z, η
))
т
.
4
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
