Указанный вид при
r < n
называют квазиканоническим видом [5],
а при
r
=
n
— каноническим видом [1] системы (1). Число
r
называют
индексом приводимости.
Система (2) квазиканонического вида регулярна в точке
(
z
0
, η
0
)
,
если коэффициент при управлении
g
(
z, η
)
не обращается в точке
(
z
0
, η
0
)
в нуль.
Говоря о том, что в области
Ω
стационарная аффинная система
преобразуется к стационарной системе того или иного вида, предпо-
лагают [3], что существует диффеоморфизм
Ψ : Ω
→
Ψ(Ω)
, который
переводит траектории одной системы в траектории другой системы,
соответствующие тем же управлениям.
Пусть замена переменных
(
z, η
) = Ψ(
x
)
, задающая преобразова-
ние системы (1) к квазиканоническому виду (2), выбрана так, что
Ψ(0) = (0
,
0)
. Тогда точка
(
z, η
) = (0
,
0)
будет положением равновесия
системы (2). Если система (2) является минимально фазовой [9, 10], а
ее квазиканонический вид регулярен в этой точке, то управление
u
=
−
f
(
z, η
) +
r
X
i
=1
c
i
z
i
! .
g
(
z, η
)
(3)
обеспечивает локальную стабилизацию положения равновесия
(
z, η
) =
= (0
,
0)
.
Удобным для анализа свойств аффинных систем является аппарат
дифференциальной геометрии. В рамках дифференциально-геометри-
ческого подхода системе (1) на области
Ω
можно взаимно-однозначно
сопоставить гладкие векторные поля
A
=
n
X
i
=1
a
i
(
x
)
∂
∂x
i
, B
=
n
X
i
=1
b
i
(
x
)
∂
∂x
i
.
(4)
Напомним, что для гладкой функции
ϕ
(
x
)
определена производная
этой функции по векторному полю [3]. Например, производная функ-
ции
ϕ
по векторному полю
A
, записанная в координатах
x
, имеет вид
Aϕ
(
x
) =
n
X
i
=1
a
i
(
x
)
∂ϕ
(
x
)
∂x
i
.
Если в замене переменных
(
z, η
) = Ψ(
x
)
координатные функции
η
1
=
η
1
(
x
)
, . . . , η
n
−
r
=
η
n
−
r
(
x
)
выбраны таким образом, что
Bη
i
(
x
) = 0
, i
= 1
, n
−
r,
(5)
то система (2) в переменных
z
,
η
примет вид
˙
z
1
=
z
2
, . . . ,
˙
z
r
−
1
=
z
r
,
˙
z
r
=
f
(
z, η
) +
g
(
z, η
)
u,
˙
η
=
q
(
z, η
)
,
(6)
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
5
