который обобщает известные результаты для систем, эквивалентных
каноническому виду [3].
Теорема 4.
Если при некотором
r,
2
≤
r < n
, для аффинной систе-
мы
(1)
существует такое решение
ϕ
(
x
)
2
C
∞
(Ω)
системы линейных
однородных уравнений в частных производных
(7)
,
для которых соот-
ветствующая функция
γ
(
x
) =
BA
r
−
1
ϕ
(
x
)
в точке
x
0
пространства
состояний системы удовлетворяет условию
γ
(
x
0
)
6
= 0
,
(13)
то в некоторой окрестности точки
x
0
:
— подматрица
U
r
(
x
)
матрицы управляемости системы
(1)
имеет
ранг
r
;
— матрица Якоби
ϕ
0
(
x
)
функций
z
i
=
A
i
−
1
ϕ
(
x
)
, i
= 1
, r,
имеет
ранг
r
;
— аффинная система
(1)
преобразуется к регулярному квазикано-
ническому виду
(2)
.
Пусть
γ
(
x
0
)
6
= 0
. Рассмотрим произведение матрицы Якоби
ϕ
0
(
x
)
на подматрицу
U
r
(
x
)
матрицы управляемости. По теореме 3 имеем
|
ϕ
0
(
x
)
U
r
(
x
)
|
=
|
γ
r
(
x
)
|
. Поскольку
γ
(
x
0
)
6
= 0
, то определитель матри-
цы
Ψ
0
(
x
)
U
r
(
x
)
отличен от нуля в точке
x
0
и в силу непрерывности
его элементов также отличен от нуля в некоторой окрестности точки
x
0
. Следовательно, в этой окрестности матрица
ϕ
0
(
x
)
U
r
(
x
)
имеет ранг,
равный
r
, и ранг каждого сомножителя не меньше
r
. Поскольку ма-
трица
U
r
содержит ровно
r
столбцов, а матрица Якоби
Ψ
0
(
x
)
r
строк,
то в рассматриваемой окрестности ранги этих матриц постоянны и
равны
r
.
Поскольку ранг матрицы Якоби
ϕ
0
(
x
)
равен
r
в точке
x
0
, то по
теореме об обратной функции [11] функциональные соотношения (8)
в некоторой окрестности
O
точки
z
0
=
ϕ
(
x
0
)
разрешимы относительно
r
переменных из числа
x
1
, . . . , x
n
. Не нарушая общности, примем, что
это
x
1
, . . . , x
r
:
x
j
=
x
j
(
z
1
, . . . , z
r
, x
r
+1
, . . . , x
n
)
, j
= 1
, r.
(14)
Положим
η
k
=
x
r
+
k
, k
= 1
, n
−
r.
(15)
Соотношения (14) и (15) в некоторой окрестности точки
x
0
задают
гладкую обратимую невырожденную замену переменных, и в новых
переменных
z
,
η
аффинная система (1) запишется в квазиканониче-
ском виде (2).
Поскольку согласно (11) функция
γ
(
x
)
определяет коэффициент
при управлении в полученной системе квазиканонического вида, то в
8
ISSN 1812-3368. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. “Естественные науки”. 2013. № 1
